Інтеграл Лебега по множині нескінченної міри

Нехай -довільна непорожня множина і на -алгебрі , визначена -скінченна міра , причому . Тоді існує така послідовність множин , що

,

.

Кожна послідовність -вимірних множин, яка володіє вказаними вище властивостями, називається вичерпною послідовністю для множини .

Нехай на множині визначена -вимірна функція

Означення. Функція називається інтегровною за Лебегом ( -інтегровною або сумовною) на множині , якщо вона інтегровна за Лебегом на кожній -вимірній множині , і для кожної вичерпної для послідовності існує скінченна границя

. (1)

Вказана границя називається інтегралом Лебега від функції по множині і позначається тобто

.

Можна показати, що границя (1), якщо вона існує скінченна для кожної вичерпної послідовності , не залежить від вибору такої послідовності тобто, що сформульоване вище означення коректне.

Зауваження 1. Для функції , такої, що , коли , де -вимірна множина, , сформульоване вище означення інтеграла Лебега по множині , рівносильне означенню інтеграла Лебега по множині , яке було сформульовано раніше.

Зауваження 2. Зазначимо, що більшість тверджень, які були сформульовані для інтеграла Лебега по множині із скінченним значенням міри, , залишаються в силі і у випадку, коли .

Суттєва відмінність полягає лише в тому, що у випадку, коли , обмежена і -вимірна на множині функція не обов'язково повинна бути інтегровною за Лебегом на . Зокрема стала , не є інтегровною за Лебегом на множині , оскільки для довільної вичерпної для послідовності буде

.

Зазначимо також, що теореми Лебега, Фату, Б. Леві, які торкаються граничного переходу під знаком інтеграла Лебега, справедливі і у випадку, коли .