Основні властивості інтеграла Лебега від довільної функції

Скрізь нижче в цьому параграфі є -вимірна підмножина множини , на якій визначені функції .

Безпосередньо із означення інтеграла Лебега від довільної функції випливають наступні його властивості:

1)

2)

3)

В справедливості властивостей 2),3) переконуємося на основі граничного переходу та відповідних властивостей інтеграла Лебега від простих функцій.

Спреведливі також властивості:

4)

Існує послідовність простих -інтегровних на невідємних функцій така, що , . Тоді , оскільки .

5)

Властивість доводиться на основі попередньої властивості.

6)

Це твердження випливає із властивостей 1),5).

7) , зокрема

,

.

8) Довільна функція є -інтегровна на -вимірній множині , такій що , і при цьому .

9)

.

10)

.

11) .

12) .

Якщо , то, згідно із попередньою властивістю . Якщо послідовність простих -вимірних і -інтегровних на функцій таких, що , то послідовність простих -вимірних і -інтегровних на функцій таких, що .

Оскільки , то переходячи в цій нерівності до границі при дістанемо .

Зазначимо, що сформульовані вище властивості справедливі і у випадку, коли .