Сігма-аддитивність та абсолютна неперервність інтеграла Лебега

Нехай є -інтегровна функція на множині . Тоді, як відомо, функція -інтегровна і на кожній -вимірній підмножині множини . З'ясуємо тут основні властивості функції

(1)

що визначена на сігма-алгебрі всіх -вимірних підмножин множини , . Справедливі наступні твердження.

1. Якщо і всі множини (їх зчисленна або скінченна сукупність) є -вимірні і попарно не перетинаються, а функція сумовна на , то вона сумовна на кожній множині і справедлива рівність

(2)
причому ряд із правої частини збігається абсолютно.

Зазначимо, що сформульоване твердження називається властивістю -аддитивності інтеграла Лебега, оскільки рівність (2) можна записати у вигляді

.

2. Якщо і множини із попереднього твердження, , а функція сумовна на кожній множині причому ряд

збігається, то функція сумовна на множині і

.

3. Інтеграл Лебега (1), як функція множин, є абсолютно неперервна функція тобто, якщо функція сумовна на множині то

Із сформульованих тверджень випливає, що при невідємній і сумовній на функції функція , є також невідємна і -адитивна на тобто вона являє собою міру таку, що , коли .