![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Нехай є
-інтегровна функція на множині
. Тоді, як відомо, функція
-інтегровна і на кожній
-вимірній підмножині
множини
. З'ясуємо тут основні властивості функції
(1)
що визначена на сігма-алгебрі всіх
-вимірних підмножин множини
,
. Справедливі наступні твердження.
1. Якщо і всі множини
(їх зчисленна або скінченна сукупність) є
-вимірні і попарно не перетинаються, а функція
сумовна на
, то вона сумовна на кожній множині
і справедлива рівність
(2)
причому ряд із правої частини збігається абсолютно.
Зазначимо, що сформульоване твердження називається властивістю -аддитивності інтеграла Лебега, оскільки рівність (2) можна записати у вигляді
.
2. Якщо і
множини із попереднього твердження,
, а функція
сумовна на кожній множині
причому ряд
збігається, то функція сумовна на множині
і
.
3. Інтеграл Лебега (1), як функція множин, є абсолютно неперервна функція тобто, якщо функція сумовна на множині
то
Із сформульованих тверджень випливає, що при невідємній і сумовній на функції
функція
, є також невідємна і
-адитивна на
тобто вона являє собою міру таку, що
, коли
.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 418 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!