Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега

Покажемо, що граничний перехід під знаком інтеграла Лебега можливий при значно слабкіших умовах, ніж у випадку інтеграла Рімана.

Теорема Лебега (про граничний перехід).

Якщо послідовність сумовних на множині , функцій збігається майже скрізь на до функції , і існує сумовна на функція така, що майже скрізь на , то функція сумовна на і

(1)

тобто при вказаних умовах можливий граничний перехід під знаком інтеграла Лебега.

Перейшовши до границі при в нерівності дістанемо нерівність , справедливу майже скрізь на .

Звідси випливає -інтегровність функції на .

Задавши довільне число , розглянемо множини ,

.

Очевидно, . Оскільки із збіжності майже скрізь випливає збіжність за мірою, то при вказаних в теоремі умовах для довільного існує номер такий, що при .

Позначивши і враховуючи сказане вище, дістанемо

(2)

Із абсолютної неперервності інтеграла Лебега випливає, що

. (3)

Отже, якщо число вибрано так, що при заданому виконується (3), то

.

Оскільки числа довільні, то із попередньої нерівності випливає, що ,і, отже,

.

Наслідок. Якщо виконуються умови попередньої теореми окрім останньої і існує така стала , що майже скрізь на множині , то функція -інтегровна на і

.

Зауваження. Зазначимо, що твердження із попередньої теореми та наслідку із неї залишаються в силі, якщо умову збіжності майже скрізь на множині замінити умовою збіжності за мірою на .

Приклад. Оскільки послідовність збігається майже скрізь на до функції , і

, то

.

Теорема Фату. Якщо посліжовність функцій , що невідємні і -інтегровні на множині , збігається майже скрізь на до функції , , і , де , то функція -інтегровна на і

тобто в попередній нерівності можливий граничний перехід під знаком інтеграла.

Теорема Б. Леві. Якщо для послідовності сумовних на множині функцій виконується і

, де , то майже скрізь на існує скінченна границя

, функція сумовна на і

.