Поняття вимірної функції. Еквівалентні функції

Нехай – довільна непорожня множина і – -алгебра множин, . Тоді впорядкована пара називається вимірним простором, а множини із називаються вимірними. Якщо при цьому є міра на , то впорядкована трійка називається простором із мірою.

Нехай та – вимірні простори. Тоді відображення називається – -вимірним, якщо . При цьому, якщо , , то – – -вимірне відображення називається -вимірним. Отже, можна сформулювати наступне означення.

Означення 1. Нехай – вимірний простір і – сігма-алгебра борелевих множин на . Тоді функція (відображення) називається -вимірною, якщо .

Очевидно, коли функція є -вимірна, то множина вимірна тобто і кожна функція , де , , є також -вимірна.

Зазначимо, що множини , , , , де – довільне дійсне число називаються лебеговими множинами функції (відображення) .

Попереднє означення, як можна показати, еквівалентне наступному означенню.

Означення 2. Функція називається -вимірною, якщо .

Очевидно, дістанемо рівносильні до попереднього означення, якщо в ньому замість взяти будь-яку іншу лебегову множину.

Якщо – простір із мірою , визначеною на -алгебрі , , то -вимірна функція називається інакше -вимірною або вимірною. Зокрема, якщо – сігма-алгебра всіх множин, вимірних за Лебегом, і , то -вимірна функція називається інакше вимірною за Лебегом.

Очевидно, в загальному випадку функція , що визначена на вимірній множині є –вимірна. Можна також показати, що композиція є вимірна функція, коли функція є -вимірна, а функція , де , неперервна. На основі цього доводиться, що функції , ( = const) є -вимірні на множині , якщо є -вимірна функція на . Можна також показати, що є -вимірні функції на множині , якщо функції , є – –вимірні на (при розгляді частки функцій додатково вимагається, щоб при ).

Можна показати, що функція , , вимірна за Лебегом, якщо вона неперервна на вимірній за Лебегом множині .

Нехай – простір із мірою , визначеною на -алгебрі , . Нехай і – така властивість, що кожен елемент із або володіє нею або не володіє. Тоді говорять, що властивість виконується майже скрізь на множині відносно міри , якщо множина не володіє властивістю вимірна, , і . Той факт, що властивість виконується майже скрізь на множині відносно міри записують: або .

Означення3. При вказаних вище умовах функції , де , називають еквівалентними на множині відносно міри (або еквівалентними), якщо і або інакше, коли . Той факт, що функції та еквівалентні будемо записувати .

Очевидно, коли міра повна, функція , , є вимірна і , то функція є також вимірна.