Канторові множини

Сегмент точками розділимо на 3 частини однакової довжини. Вилучивши із сегмента середній інтервал , дістанемо об’єднання двох сегментів , . Сегмент точками , а сегмент точками розділимо знову на три частини однакової довжини. Вилучивши із вказаних сегментів середні інтервали

, дістанемо об’єднання 4 сегментів , , , . Кожен із останніх сегментів знову розділимо на 3 частини однакової довжини і вилучимо середні інтервали. І так далі. Продовжуючи цей процес до нескінченності, дістанемо певну множину , що утворюється із шляхом вилучення з нього зчисленної сукупності інтервалів , , , … Множина називається канторовою множиною. Множина , також називається канторовою множиною. Очевидно, . Зрозуміло, що множина не включає жодного сегмента як завгодно малої довжини. Множина є відкрита, як об’єднання зчисленної сукупності інтервалів, що попарно не перетинаються. Тому множина є замкнута, як доповнення відкритої множини до сегмента . Оскільки множини та є відповідно замкнута і відкрита, то вони вимірні за Лебегом, як множини на числовій прямій.

Множина є об’єднання 1 інтервала першого рангу (який вилучається із на першому кроці його поділу), двох інтервалів другого рангу (які викидаються із сегментів , на другому кроці при їх поділу) і т. д. Оскільки множина включає інтервалів n-го рангу, довжина кожного з яких дорівнює , то лінійна міра Лебега множини обчислюється наступним способом

Оскільки , то . Таким чином канторова множина має лебегову міру рівну нулю, .

До множини належать всі кінці вилучених із інтервалів. Тому ця множина не менш ніж зчисленна за потужністю. Однак, справедливе наступне твердження.

Теорема. Множина Кантора має потужність континуума.

Припустимо протилежне до твердження теореми тобто, що множина є зчисленна. Тоді її можна записати у вигляді

, де при . (1)

Позначимо через той із двох сегментів першого рангу , , який не містить точку , ; позначимо через , той із чотирьох сегментів другого рангу, що включаються в , який не містить точку , . І так далі.

Продовжуючи цей процес до нескінченності, дістанемо послідовність сегментів таку, що і при цьому не містить точок . Оскільки крім того має довжину , то згідно з лемою про стяжні сегменти, сегменти послідовності мають і причому єдину спільну точку , яка не є елементом послідовності (1), що суперечить нашому припущенню. Одержане протиріччя і показує справедливість теореми.

Зауваження. Із доведеної теореми випливає, що канторова множина окрім кінців інтервалів, що вилучаються із при її утворенні, містить ще й інші точки, бо в протилежному випадку вона була б лише зчисленною.