Неперервність міри

Часто використовується властивість неперервності міри, сутність якої розкриває наступне твердження.

Теорема (про неперервність міри). Міра , що визначена на кільці , є неперервна функція, тобто справедливі твердження:

1) ;

2) .

Нехай - довільна послідовність множин з кільця , що задовольняє умови: і . Якщо , то в силу монотонності міри на буде .

Отже, тобто справедливе твердження 1). Якщо , то в силу –аддитивності міри дістанемо

тобто знову справедливе твердження 1).

Аналогічно доводиться твердження 2) .