Породжені класи множин

Нехай - довільний непорожній клас множин, . Можна показати, що існує єдине кільце , яке включає клас і яке включається в кожне інше кільце, що включає і включається в . Таке кільце називається мінімальним кільцем над класом або кільцем, породженим класом . Кільце можна означити також за допомогою рівності:

( - кільце),

оскільки перетин довільної сукупності кілець , , є кільце.

Аналогічно можна означити алгебру , -кільце , -алгебру , які породжені класом множин (які мінімальні над класом ). Зокрема, це можна зробити наступним способом:

, , ,

де , , є відповідно довільні алгебра, -кільце та -алгебра, що включають і включаються в .

Якщо - довільне півкільце, , то кільце , що породжене півкільцем , є сукупність усіх найможливіших множин , , які можна записати у вигляді , Наприклад, кільце , що породжене півкільцем усіх піввідкритих прямокутників із , є сукупність усіх найможливіших елементарних множин із , тобто множин, які являють собою скінченні об’єднання піввідкритих прямокутників із , які попарно не перетинаються (разом з множиною ).

Якщо - довільний метричний простір і - клас усіх відкритих множин цього простору, , то мінімальна -алгебра (G) над класом G називається -алгеброю борелевих множин цього метричного простору і позначається B , B (G).

Можна довести наступні твердження:

1) Якщо , де - відкрита куля метричного простору , то B ;

2) Якщо F - клас усіх замкнутих множин метричного простору , то B (F) , де - замкнута куля цього простору;

3) Кожна одноелементна та кожна зчисленна множини точок метричного простору є борелеві множини;

4) Множини точок метричного простору зі стандартною метрикою , заданою на , є борелеві множини (належать B );