Множини метричного простору

Нагадаємо тут деякі поняття і факти, які будуть використовуватися пізніше. Через будемо позначати відповідно множину натуральних чисел, кільце цілих чисел, поля раціональних, дійсних та комплексних чисел.

Якщо - деяка непорожня множина, то через позначимо сукупність всіх підмножин цієї множини, . Очевидно, . Відомо, що різниця , де і - довільні множини, , називається доповненням множини (до множини ) і позначається або тобто .

Для довільної сукупності множин таких, що при , де - скінченна або нескінченна множина індексів , справедливі рівності

, ,

які називаються законами двоїстості або законами де Моргана.

Множини називаються диз’юнктивними, якщо . Об¢єднання таких множин позначається .

Відомо, що дві функції і називаються рівними (співпадаючими), якщо і .

Якщо , то функція така, що , називається звуженням функції на множину і позначається . При цьому функція називається продовженням (поширенням) функції із множини на множину .

Нагадаємо, що множина , , називається замкнутою в метричному просторі з метрикою , якщо вона містить всі свої граничні точки. Множина , , називається відкритою в метричному просторі , якщо кожна точка множини є внутрішньою точкою для неї, тобто належить разом зі всіма точками деякого свого околу. Відомо, що множина , , є відкрита (замкнута) в метричному просторі тоді і лише тоді, коли множина замкнута (відкрита) в .

Очевидно відкрита та замкнута, , , , кулі метричного простору є відповідно відкрита та замкнута множини в .

Справедливі наступні твердження:

1) якщо – замкнуті множини і - відкриті множини метричного простору , , , то при довільному , , множина замкнута, а множина відкрита в .

2) якщо - довільна скінченна або нескінченна множина індексів і множини , при , та , при , відповідно замкнуті та відкриті в метричному просторі , то множини , є відповідно замкнута та відкрита в .

Можна показати, що кожна непорожня відкрита множина метричного простору , (тобто відкрита множина на числовій прямій) є або вся множина або об¢єднання не більш ніж зчисленної сукупності інтервалів (обмежених або необмежених), які попарно не перетинаються і кінці яких не належать (вони називаються складовими інтервалами множини ).

Кожна замкнута множина метричного простору є або вся множина або утворюється шляхом вилучення із не більш ніж зчисленної сукупності інтервалів, які попарно не перетинаються і кінці яких належать , якщо ці кінці не є символи та (такі інтервали називаються суміжними інтервалами для ).

Якщо , - дві фіксовані точки із , такі, що , то множина називається півінтервалом в або піввідкритим паралелепіпедом в .

Можна показати, що кожна непорожня відкрита множина із метричного простору , де , , , є або вся множина або об¢єднання зчисленної сукупності півінтервалів із , які попарно не перетинаються. Вказане об¢єднання не може складатися зі скінченної сукупності півінтервалів.

З іншого боку, як можна показати, кожна непорожня відкрита множина із є або вся множина або об¢єднання не більш ніж зчисленної сукупності відкритих куль простору .