![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Нехай - довільна непорожня множина і
- довільний непорожній клас підмножин множини
,
. Позначимо
. Будемо розглядати тут функції виду
.
Означення 1. Функція , що визначена на класі множин
називається на
:
1) невід'ємною, якщо ;
2) скінченно-аддитивною, якщо
;
3) зчисленно-аддитивною або -аддитивною, якщо
(причому сума ряду може дорівнювати і );
4) скінченою, якщо ;
5) неспадною, якщо ;
6) -скінченною, якщо
.
Очевидно, якщо і
-скінченно-аддитивна функція на
і
, то
0.
Це випливає зі співвідношень
.
Окрім того, як можна показати, якщо функція зчисленно-аддитивна на
, то вона і скінченно-аддитивна на
,але не кожна скінченно-аддитивна функція
є
-аддитивна на
.
Означення 2. Функція , називається мірою, якщо
-півкільце множин і функція
невід’ємна та
-аддитивна на
.
Зазначимо, що 0 для міри
такої, що
. Скрізь нижче розглядатиметься лише така міра
на півкільці
, для якої остання умова виконується.
Функція , що визначена на півкільці
,
, називається скінченно-аддитивною мірою, якщо вона невід’ємна і скінченно-аддитивна на
.
Зрозуміло, що міра є скінченно-аддитивна міра, але не кожна скінченно-аддитивна міра є міра.
Ми будемо розглядати тут в основному міру, хоча деякі твердження, які будуть встановлені, справедливі і для скінченно-аддитивної міри.
Означення 3. Міра на півкільці
називається
-скінченною (скінченною), якщо функція
є
-скінченна (скінченна) на
.
Приклад 1. Якщо - фіксована точка непорожньої множини
,
,
, то функція
така, що
, коли
, і
, коли
, для кожної множини
, є міра на
-алгебрі (на кільці)
, причому вона скінченна.
Приклад 2. Якщо - півкільце всіх найможливіших обмежених півінтервалів в
разом з порожньою множиною,
, то функція
така, що
, і
, є міра на
, причому вона скінченна та
-скінченна.
Приклад 3. Якщо
- півкільце усіх найможливіших піввідкритих прямокутників
із
разом з порожньою множиною,
, то функція
така, що
,
, і
, є скінченна та
-скінченна міра на
.
Основні властивості міри на півкільці
, описуються наступними твердженнями:
а) (монотонність міри);
б)
;
в)
;
г) ;
д) .
На основі останньої властивості доводиться, що міра на півкільці
є зчисленно-піваддитивна (
-піваддитивна) функція, тобто
.
Зрозуміло, що останнє твердження, а також властивості г), д), справедливі і для довільних скінчених сукупностей множин та
із півкільця
.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 386 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!