![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Нехай - довільна непорожня множина,
.
Означення. Непорожній клас підмножини множини
,
, називається:
1) півкільцем, якщо ,
і
;
2) кільцем, якщо
.
Зрозуміло, що кожне півкільце замкнуте відносно операції перетину довільної скінченної кількості множин із нього, тобто
.
Кожне кільце містить порожню множину
і воно замкнуте відносно операцій перетину двох множин із нього та утворення симетричної різниці двох множин, що випливає із рівностей
,
,
, де
. Зрозуміло, що кільце
замкнуте відносно об¢єднання та перетину довільної скінченної кількості множин із нього, тобто
.
Очевидно, кожне кільце множин є півкільце множин, але не кожне півкільце є кільце.
Множина ,
, називається одиницею класу множин
,
, якщо
.
Кільце з одиницею називається алгеброю множин.
Приклад 1. Сукупність ,
, всіх обмежених підмножин множини
разом із порожньою множиною
є кільце без одиниці, тобто
не є алгебра множин.
Приклад 2. Якщо , то клас
піввідкритих паралелепіпедів
метричного простору разом із порожньою множиною утворює півкільце без одиниці,
. Це півкільце не є кільце, оскільки ні операція об¢єднання множин, ні операція віднімання множин не є замкнутими в
. Очевидно півкільця
,
являють собою сукупності відповідно всіх піввідкритих проміжків числової прямої
та всіх піввідкритих прямокутників
координатної площини
разом із порожньою множиною.
Кільце ,
, називається
-кільцем (
-кільцем), якщо воно замкнуте відносно операції об¢єднання (операції перетину) зчисленної сукупності множин із
, тобто, якщо для кожної послідовності
множин
виконується
.
Можна показати, що кожне -кільце є
-кільце, але не кожне
-кільце є
-кільце. Очевидно, кільце із прикладу 1 є
-кільце, що не є
-кільцем.
Довільне -кільце (
-кільце) множин, що містить одиницю, називається
-алгеброю (
-алгеброю) множин. Виявляється, що поняття
-алгебри та
-алгебри множин рівносильні (це випливає із законів де Моргана).
Приклад 3. Сукупність ,
, де
- довільна множина, є
-алгебра множин із одиницею
.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 1024 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!