Основні класи множин

Нехай - довільна непорожня множина, .

Означення. Непорожній клас підмножини множини , , називається:

1) півкільцем, якщо , і ;

2) кільцем, якщо .

Зрозуміло, що кожне півкільце замкнуте відносно операції перетину довільної скінченної кількості множин із нього, тобто .

Кожне кільце містить порожню множину і воно замкнуте відносно операцій перетину двох множин із нього та утворення симетричної різниці двох множин, що випливає із рівностей , , , де . Зрозуміло, що кільце замкнуте відносно об¢єднання та перетину довільної скінченної кількості множин із нього, тобто .

Очевидно, кожне кільце множин є півкільце множин, але не кожне півкільце є кільце.

Множина , , називається одиницею класу множин , , якщо .

Кільце з одиницею називається алгеброю множин.

Приклад 1. Сукупність , , всіх обмежених підмножин множини разом із порожньою множиною є кільце без одиниці, тобто не є алгебра множин.

Приклад 2. Якщо , то клас

піввідкритих паралелепіпедів

метричного простору разом із порожньою множиною утворює півкільце без одиниці, . Це півкільце не є кільце, оскільки ні операція об¢єднання множин, ні операція віднімання множин не є замкнутими в . Очевидно півкільця ,

являють собою сукупності відповідно всіх піввідкритих проміжків числової прямої та всіх піввідкритих прямокутників координатної площини разом із порожньою множиною.

Кільце , , називається -кільцем ( -кільцем), якщо воно замкнуте відносно операції об¢єднання (операції перетину) зчисленної сукупності множин із , тобто, якщо для кожної послідовності множин виконується .

Можна показати, що кожне -кільце є -кільце, але не кожне -кільце є -кільце. Очевидно, кільце із прикладу 1 є -кільце, що не є -кільцем.

Довільне -кільце ( -кільце) множин, що містить одиницю, називається -алгеброю ( -алгеброю) множин. Виявляється, що поняття -алгебри та -алгебри множин рівносильні (це випливає із законів де Моргана).

Приклад 3. Сукупність , , де - довільна множина, є -алгебра множин із одиницею .