Проверка адекватности модели

Для проверки гипотезы об адекватности модели необходимо сопоставить достигнутую точность модели с величиной, характеризующей точность наблюдений.

Если ошибки, характеризующие точность модели, превосходят ошибки наблюдений, то гипотеза отклоняется. Тогда уже нельзя оценивать ошибку наблюдения путем нахождения разности между результатом наблюдений выходной переменной и результатом ее расчета по модели.

Поэтому дисперсия ошибок наблюдений может быть оценена путем сравнения результатов нескольких параллельных опытов, проведенных в каждой экспериментальной точке.

Рассмотрим процедуру проверки адекватности модели, если в каждой из N точек xⁱ реализовано ν экспериментов, то результаты такого опыта можно представить в виде ряда векторов:

i=1-N

Для проверки гипотезы адекватности модели надо сравнить две суммы квадратов. Первая сумма характеризует неадекватность модели (дефект):

Она рассматривается по модели и по результатам экспериментов значений выходной переменной

Вторая сумма характеризует ошибки наблюдений:

1-я сумма состоит из N слагаемых, между которыми имеет место k+1 линейных связей, поэтому она обладает степенями свободы.

2-я сумма состоит из ν элементов и обладает степенями свободы.

Оценка дисперсии ошибок наблюдений определяется по формуле:

Она формально является средним по ν параллельным наблюдениям.

Оценка дисперсии ошибки единичного наблюдения:

В случае, когда модель адекватна, частное от деления оценки дисперсии неадекватности на оценку дисперсии ошибки единичного наблюдения является случайной величиной и подчиняется f -распределению с числом степеней свободы φ₁ и φ₂.

При заданном уровне значимости и известных числах степеней свободы по таблицам определяют F_кр. Если F < F_кр, то модель адекватна.

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

План эксперимента, область планирования, центр плана, центральный план.

(Постоянно существует необходимость рационального использования в производстве и в научных исследованиях рабочей силы и средств производства. Одно из направлений, формально приводит к увеличению производительности труда и рационального использования ресурсов, и заключается в применении современных математических методов, таких, как планирование эксперимента, исследование операций, математическое моделирование, вычислительная техника.

Для эффективного анализа механизма явлений и управления производственными процессами необходимо выделить взаимосвязь между факторами, определяющими ход процесса и представить их в количественной форме в виде математической

модели. Для построения математической модели необходимо поставить ряд опытов. Определением параметров, при кот. ставится эксперимент, и занимается дисциплина планирование эксперимента.)

Множество всех точек эксперимента:

,

представленных с помощью матрицы плана:

называется планом эксперимента, т.е матрица описывает все точки, все комбинации значений параметров системы, в которых необходимо поставить эксперимент.

Точка называется центром плана, где - точка плана эксперимента. Каждая координата этого вектора является средним значением этой координаты для всех точек плана.

План эксперимента называется центральным, если его центр расположен в начале координат.

Оптимальное планирование связано с разработкой планов, представленных в стандартной форме. При этом целесообразно рассматривать центральный план.

Всякий план Z с точками Z_i путем замены при может быть преобразован в центральный план.

Область возможных значений независимых переменных называют областью планирования. Ее обычно обозначают буквой Ω (омега).

Все точки плана Х д. принадлежать области планирования эксперимента Ω, т.е. .

Независимые переменные Х принято называть варьируемыми переменными, или факторами. Если область планирования эксперимента задается с помощью неравенства, то говорят, что областью планирования является гиперкуб.

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Информационная матрица. Ортогональные планы эксперимента

Матрица М = F’∙F с размером (k+1)(k+1) называется информационной матрицей плана.

F’ – трансформированная матрица плана.

Информационная матрица зависит от вида функции (f₀(x)…f_k(x)) и план называется ортогональным, если информационная матрица диагональна:

Формально матрица М представляет собой системы нормальных уравнений, из решения которых находят оценки коэффициентов математической модели.

Информационная матрица плана необходима для расчета дисперсионной матрицы, с помощью которой в конечном итоге и находят коэффициенты модели.

- дисперсионная матрица

- вектор экспериментальных значений.

Вектор коэффициентов модели:

Вид информационной матрицы имеет важное значение для оценки качества плана. Матрица должна быть не вырожденной, т.е. ее определитель не д.б. равен нулю:

Только в этом случае система линейных уравнений, которая приводит критерий наименьших квадратов, имеет единственное решение.

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Полные факторные планы эксперимента.

Множество всех точек в n -мерном пространстве, координаты которого +1 или –1, называется полным факторным планом типа 2ⁿ.

Здесь n – число факторов, которые учитываются как влияющие на процесс при построении его математической модели.

Число точек в таких планах равно N = 2ⁿ.

Такие планы предназначены для построения линейных моделей процессов вида:

Информационная матрица F будет иметь вид:

При одном факторе (n = 1) точки эксперимента можно представить на координатной прямой:

При двух факторах (n = 2) точки эксперимента можно представить в виде углов квадрата на координатной плоскости:

При трех факторах (n = 3) точки эксперимента находятся в вершинах куба в координатном пространстве:

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Д - оптимальные планы.

строятся с использованием критерия Д-оптимальности, позволяющего выбрать планы.

Критерий Д-оптимальности требует такого расположения точек плана, при котором определитель матрицы С min, или определитель матрицы М max.

Д - оптимальный план минимизирует объем эллипсоида рассеивания оценок коэффициентов.

Объем этого эллипсоида характеризует рассеяние случайного вектора относительно его мат. ожидания, или центра рассеяния. Для 2-мерной модели эллипсоид рассеяния выглядит следующим образом:

-максимальное собственное число дисперсионной матрицы С.

-минимальное собственное число дисперсионной матрицы С.

Во многих случаях область варьирования независимых переменных бывает ограничена. Задача планирования в этом случае будет заключаться в том, чтобы наилучшим образом расположить экспериментальные точки в области возможных значений варьируемых переменных ().

Предположим, что модель будет иметь следующий вид:

Задача будет состоять в том, чтобы найти оценки вектора коэффициентов на основании экспериментальных данных. При

Этом в результате i-го опыта появляется величина:

- случайная ошибка, свободная от систематических ошибок, что означает:

Эта ошибка имеет одинаковую дисперсию для всех точек наблюдения:

Оценку коэффициентов модели получают из выражения:

Здесь F – матрица значений функции независимых переменных в соответствии с планом, F’ – трансформированная матрица.F, - вектор измеренных значений выходных переменных, С – дисперсионная матрица плана.

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА