Ошибка оценки коэффициентов линейной модели

Оценки значений коэффициентов модели отличается от истинных значений, причём ошибка тем больше, чем больше дисперсия ошибок наблюдений. Показателями точности оценок коэффициентов а и величин является дисперсия, соответствующая: . Эти дисперсии зависят от дисперсионных ошибок наблюдений выбранной структуры модели и точек постановки опытов, т.е. от матрицы F.

Для определения этой зависимости необходимо находить выражения для ковариационной матрицы (матрицы, выражающей корреляцию между экспериментом и моделью), затем рассчитывают дисперсии оценки пар-ров а, коэффициенты корреляции между параметрами модели, дисперсию выходных параметров и т.д.

Однако в большинстве случаев дисперсия ошибок наблюдений неизвестна и должна быть оценена с помощью полученных экспериментальных данных. В этом случае можно использовать остаточную сумму квадратов:

Эта величина имеет (φ = N – K – 1) степеней свободы., поскольку N слагаемых имеют (К+1) линейных связей, а величина:

является несмещённой оценкой дисперсии ошибок наблюдений . Оценка для дисперсии :

Величина подчиняются t-распределению (распределения Стьюдента) с φ степенями свободы. При этом справедливо неравенство:

Если задана вероятность , то величину ε находят из таблицы распределения.

Если известна оценка дисперсии наблюдений, то доверительный интервал для истинного значения i-го коэффициента определяется из выражения:

Если полученный результат больше самой оценки, то она считается незначительной, и ее можно исключить из модели.

В общем случае оценка параметра ai и её дисперсия зависят от оценок всех других коэффициентов модели. Если тот или иной член модели исключается из уравнения, необходимо пересчитать оценки всех остальных коэффициентов моделей и дисперсии. При этом могут измениться как доверительные интервалы, так и выводы относительной значимости этих коэффициентов.

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА