![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Задача 5.1. Пластина в форме прямоугольного треугольника ОАВ вращается вокруг вертикальной оси по закону (см.рис. 1 к примеру 5.1)
(рад).
Положительное направление отсчета угла соответствует вращению пластины против часовой стрелки, если наблюдать с положительного конца оси
. По гипотенузе
от вершины треугольника
к вершине
движется точка
по закону
(м). В момент времени
точка
находится в вершине треугольника
. Найти абсолютную скорость и ускорение точки М, в момент времени
секунды, если катеты треугольника
,
.
|
Решение. Неподвижная система координат показана на рис.1 к примеру 5.1. С вращающейся пластиной жестко совместим подвижную систему координат
, ось которой направлена по гипотенузе АВ от вершины А к вершине В. По условию задачи траектория точки М - прямая линия. При вращении пластины эта система координат будет вращаться вместе с ней.
Движение точки М в подвижной системе координат , то есть движение точки по пластине - это относительное движение точки М. Движение точки вместе с пластиной – это переносное её движение.
1. Определение положения точки в пространстве в момент времени с. Из закона переносного движения
при
с получим
рад. Будем считать, что показанное на рисунке 2 положение пластины соответствует этому углу. Другими словами, к моменту времени
с пластина сделала 1,5 оборота вокруг оси вращения
. Так как точка движется по гипотенузе по закону
, то при
с получим
м.
Другими словами, пока пластина поворачивалась на рад, точка М прошла по гипотенузе АВ расстояние
м. Длина гипотенузы
м. Положение точки на гипотенузе
в момент времени
с показано на рис.2 к примеру.
2. Исследование относительного движения токи М. В относительном движении точка М совершает прямолинейное движение по гипотенузе АВ. Пользуясь формулами для определения алгебраических значений скоростей и ускорений точек при естественном способе задания движения, будем иметь:
=
.
В общем случае вектор относительного ускорения точки равен сумме касательной и нормальной составляющих . В данном случае траектория относительного движения - прямая (гипотенуза). Поэтому
,
, так как радиус кривизны
(траектория относительного движения – гипотенуза АВ). Следовательно,
. При
получим:
,
.
Вычисления показали, что в момент времени точка совершает замедленное движение (
). Вектор относительной скорости
направлен по касательной к траектории (следовательно, по гипотенузе
) от точки М к вершине В, а вектор
направлен в обратную сторону (см. рис.2 к примеру).
3. Исследование переносного движения точки. Переносным движением для точки М является вращение треугольника относительно неподвижной оси. Мысленно удалим движущуюся точку М с треугольника и рассмотрим кинематику точки пластины , в которой находится движущаяся точка М в момент времени
. Воспользуемся теорией вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение вычисляются по формулам:
,
.
Линейные скорость и ускорения вычисляются по формулам:
,
,
,
,
,
.
При :
,
.
,
.
Чтобы облегчить пространственное восприятие векторов, в точке , совпадающей в данный момент времени с точкой
пластины, введем систему координат
с осями параллельными осям исходной системы координат
. Векторы
,
,
лежат в плоскости
, перпендикулярной к оси вращения
. Алгебраическая величина
- положительна. Поэтому вектор
, будучи направлен по касательной к траектории переносного движения точки, – перпендикулярен к плоскости пластины и к радиусу траектории
, то есть направлен по оси
, параллельной оси
. Направлен он в направлении вращения пластины.
Так как знаки ,
совпадают, то вектор
направлен так же, как и вектор
. Вектор
направлен к оси вращения пластины по оси
. Указанные векторы показаны на рис. 3 к задаче.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 1253 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!