Довжина дуги в полярних координат

Нехай рівняння кривої L в полярних координатах

при чомуфункція неперервнодиференціюючи на [а,b]. Використовуючи формули переходувідполярних координат до декартовихіберучи за параметр кут маємопараметричнірівняння кривої Тоді

Наприклад: Вычислить длину дуги логарифмической спирали

(рис. 18.10).

Рис. 18.10

52. Застосування інтегралів в економіці

Визначення загального обсягу випущеної продукції Нехай деяка фірма випускає один вид продукції, використовуючи один ресурс. Виробнича функція фірми має вигляд q=q(x), де x - затрати ресурсу, а q - обсяг випуску. Затрати ресурсу x є функцією від часу t, наприклад, x=x(t).Тоді загальний обсяг продукції Q за час від T0 до T1 обчислюється за допомогою визначеного інтегралу.При, x(t)=100e0,2t, T0=0 та T1=5 (років) загальний обсяг випущеної за п’ять років продукції2. Визначення коефіцієнта Джинні Нехай y=y(x) - частка (доля) приватного капіталу деякої країни, яка перебуває у власності групи людей, що становлять частку (долю) x населення цієї країни.Наприклад, у тому випадку, коли 30% населення володіє 10% капіталу, 60% населеня 35% капіталу, і 85% 60% капіталу, маємо таке:y(0,3)=0,1;y(0,6)=0,35;y(0,85)=0,6.

Очевидно, що завжди y(0)=0 та y(1)=1.

53.Подвійний інтеграл та його обчислення

. Якщо існує та не залежить ні від способу розбиття області D на частини, ні від вибору точок M_i, то ця границя називається подвійним інтегралом від функції по області D і позначається так:

Заміна змінних інтегрування в подвійному інтегралі

Нехай у подвійному інтегралі (7.36) треба зробити перехід від змінних до змінних , тобто перейти від декартової системи координат до довільної системи координат за формулами , , які відомі.

Для цього необхідно обчислити елементарну площу в новій системі координат .

Диференціал радіуса-вектора в системі має вигляд:

.

Отже, елементарну площу у декартовій системі координат можна знайти як модуль векторного добутку векторів:

.

У довільній системі координат

, а елементарна площа буде такою: