Довжина дуги в прямокутних координ

Под длиной дуги кривой понимается предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломанной, если длина самого большого ее звена стемится к нулю.

Допустим, что кривая определена уравнением , при этом представлена в качестве непрерывно дифференцируемой функции на . Разделим ее на частей посредством точек с абсциссами и проведем через данные точки хорды (рис. 18.9, а). В результате имеем вписанную ломанную с длиной ее -го звена

здесь , составляет Из определения длины дуги следует Поскольку правая часть представляет собой интегральную сумму для функции , то

Рис. 18.9

Пример: Найти длину дуги окружности , если (рис. 18.9, б).