Индуктивный идеальный элемент в цепи синусоидального тока

В электрических цепях постоянного тока магнитное поле, созданное током, не изменяется и, следовательно, не оказывает влияния на режим работы цепи. В цепях синусоидального тока всякое изменение тока в цепи вызывает соответствующее изменение магнитного поля, что численно выражается через изменение собственного потокосцепления y =Li и приводит к возникновению ЭДС самоиндукции e_L. Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью ЭДС самоиндукции определяется скоростью изменения собственного потокосцепления.

e_L= .

Когда магнитное поле образуется в немагнитной среде, зависимость

между yи i является линейной, и отношение - постоянная величина. Следовательно, индуктивность L элемента цепи можно рассматривать как коэффициент пропорциональности между y и i, или между скоростью изменения тока в цепи и ЭДС самоиндукции, наведенной в этом элементе. Таким образом, индуктивность характеризует свойство индуктивного элемента преобразовывать электроэнергию источника в энергию магнитного поля. На схемах замещения индуктивный элемент изображается, как показано на рис.1.4.б. Так как индуктивность - пассивный элемент, поэтому условно положительное направление тока и напряжения совпадают. Условились положительное направление ЭДС самоиндукции брать совпадающим с положительным направлением тока, который наводит эту ЭДС, см. рис.1.4.б. Поэтому действительное направление ЭДС самоиндукции совпадает с направлением, обозначенным на рисунке при убывании тока в цепи, т.е. когда <0, а e_L >0. По второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, состоящего из источника ЭДС и идеального индуктивного элемента, имеем: e + e_L =0. Как известно, напряжение на зажимах источника u=e-iR_в, и если R_в =0, то u=e. Приняв во внимание, что u=u_L,а e_L= ,

получаем u_L + e_L =0, или u_L =- e_L. Последнее выражение показывает, что прохождение по индуктивному элементу синусоидального тока, возможно при условии, когда напряжение этого элемента уравновешивает ЭДС самоиндукции, то есть равно ему по величине и противоположно по фазе.

Пусть по цепи с индуктивным элементом протекает синусоидальный ток:

i= I_m sin(wt+y i).

Напряжение на индуктивном элементе уравновешивает ЭДС самоиндукции

,

или .

Сравнение амплитуд и начальных фаз тока и напряжения дает:

; .

Следовательно, напряжение на индуктивном элементе опережает ток по фазе на 90⁰, а отношение амплитуд напряжения и тока определяется

величиной , называемой индуктивным сопротивлением.

Увеличение индуктивного сопротивления пропорционально частоте отражает тот факт, что с ростом частоты изменения тока (и связанного с ним магнитного потока) будет пропорционально расти напряжение, индуктированное в элементе. Разделив амплитуды тока и напряжения

на , получим закон Ома для действующих значений: .

Найдем мгновенное значение мощности в индуктивном элементе:

переходя к действующим значениям и учитывая, что

- cos(2a+90)= sin 2a,

получим .

Проиллюстрируем наши выкладки графиками i, u_L, p_L,принимая

=0 (. 1.7.).

рис

Рис. 1.7.

Мгновенная мощность в индуктивном элементе изменяется по синусоидальному закону с удвоенной частотой. В первую четверть периода, когда i>0, u>0, мощность положительна, энергия от источника переходит в цепь и затрачивается на создание магнитного поля. К концу четверти периода катушка запасает максимальную магнитную энергию, равную . Во вторую четверть периода i убывает, но больше нуля, а напряжение меньше нуля, поэтому и мощность меньше нуля. Энергия магнитного поля возвращается обратно в источник. К концу полупериода вся энергия возвратится в источник. Во втором полупериоде процессы повторяются при другом направлении тока. Энергия непрерывно преобразуется из электрической в энергию магнитного поля и обратно с возвращением источнику. Энергия цепи за период равна нулю, средняя или активная мощность за период также равна нулю. В этом также можно убедиться, вычислив интеграл:

.

Энергия, непрерывно колеблющаяся в цепи с индуктивным элементом, называется индуктивной реактивной энергией, а максимальное значение мощности, связанное с ней - индуктивной реактивной мощностью:

Q_L = U_L I= X_L I²,

и измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАр). Реактивная мощность представляет максимальную скорость обмена энергией между источником и элементом и определяет ток, связанный с этим обменом. Протекание тока приводит к дополнительным потерям в сопротивлении устройств передачи энергии, поэтому реактивная мощность должна быть по возможности минимальной.

Для записи закона Ома в комплексном виде представим комплексыамплитуд тока и напряжения на индуктивном элементе:

I _m =I_m e^{jy i} , U _m =U_m e^{jy u} = w LI_m e = w LI_m e^{jy i} e ,

так как e =j, следовательно, U _m = jw L I _m

Перейдем к комплексам действующих значений и запишем закон Ома в виде: U= X_LI,

где X_L = jw L называется комплексным индуктивным сопротивлением. Поскольку оно имеет только мнимую составляющую, его называют еще реактивным сопротивлением.

Векторная диаграмма напряжения и тока индуктивного элемента показана на рис. 1.8.

Рис. 1.8.