Представление синусоидальных электрических величин комплексными числами и векторами на комплексной плоскости

Поместим вектор ОА, характеризующий переменный синусоидальный ток (см. рис. 1.2а), на комплексную плоскость координат, рис. 1.3.

Рис. 1.3.

Как известно, проекции радиус-вектора на действительную и мнимую координатные оси являются координатами комплексного числа, которое можно представить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах: A =Re A + j Im A =A cosg + j A sing =Ae^jg,

где Re A - вещественная часть комплексного числа;

Im A - мнимая часть комплексного числа;

A - модуль комплексного числа;

g - аргумент комплексного числа;

j= - мнимая единица.

Учитывая, что A=I_m, получим в

тригонометрической форме: i = I_m cos()+j I_m sin().

Величину i называют комплексом мгновенного значения синусоидального переменного тока. Перепишем i в показательной форме:

i = I_m e^{j(wt+y i )} = I_m e^{jy i} e^{j wt}= I _m e^{j wt}.

Первый множитель, входящий в это выражение, I _m = I_m e^{jy i}

называется комплексом амплитудного значения переменного тока, или комплексной амплитудой. Модулем комплексной амплитуды I_m является вещественная амплитуда синусоидального тока, а аргументом - начальная фаза. Таким образом, комплексная амплитуда включает в себя оба параметра синусоиды: амплитуду и начальную фазу. На комплексной плоскости комплексная амплитуда изображается вектором, соответствующим комплексу мгновенного значения тока в момент времени t=0. Второй множитель в выражении i - это экспонента

e^{j wt} = ,

имеет модуль, равный единице, и аргумент - угол , зависящий от времени. Геометрически - это единичный вектор, вращающийся с угловой скоростью против часовой стрелки. Так как при умножении комплексных величин аргументы складываются, то любая комплексная величина, умноженная на e^jwt, приобретает свойства вращающегося вектора. Как видим, существует взаимное однозначное соответствие между комплексом мгновенного значения и мгновенным значением синусоидальной функции тока. При этом комплексную амплитуду можно рассматривать как преобразование в частотную область синусоидальной функции времени заданной частоты. Для фиксированной частоты комплексная амплитуда содержит все параметры синусоидального колебания - его амплитуду и фазу. Процесс преобразования мгновенного значения тока или напряжения в комплексную амплитуду очень простой:

i = 4 sin ð I _m =4 e^j .

Обратное преобразование производится элементарно:

I _m= 10 e^j ð i = 10 sin .

Таким образом, договорившись о том, что в цепи переменного тока всегда будут включаться источники электрической энергии одинаковых частот, можно при расчетах синусоидальные токи и напряжения заменять их комплексными амплитудами, т.е. представлять в виде комплексного числа или вектора на комплексной плоскости. Для комплексных чисел и соответствующим им векторам применимы все основные математические действия: сложение и вычитание, умножение и деление. При этом неизбежны переходы от одной записи к другой. Следует только помнить, что знак и значение аргумента комплексного числа определяется тем, в каком квадранте расположен вектор комплексного числа. Определение квадранта производится по знакам вещественной и мнимой частей числа, записанного в алгебраической форме.

При расчетах электрических цепей переменного синусоидального тока обычно интересуются не амплитудными, а действующими значениями. Поэтому обычно вместо комплексных амплитуд рассматривают комплексы действующих значений:

I = ; U = .