Теоретическая справка. Пусть x1, x2,, xn − выборка объема n из некоторой генеральной совокупности

Пусть x ₁, x ₂,..., x_n − выборка объема n из некоторой генеральной совокупности. По этой выборке можно оценить основные числовые характеристики генеральной совокупности. Различные элементы выборки xi называются вариантами. Ряд вариант, расположенных в порядке возрастания их значений называется вариационным рядом. Им пользуются, в основном, при малых n. Если n велико, то ряд преобразуют в группировки по отдельным значениям признака x (дискретная группировка) или по интервалам изменения признака (интервальная группировка), для чего разбивают диапазон изменения признака x, называемый размахом R = x _{max -} x _min, на K равных интервалов. Для определения количества интервалов рекомендуется правило , где 5 ≤ K ≤ 20. Иногда данные для обработки поступают уже в интервальной группировке, или представляется невозможным использовать одинаковые интервалы (например, в экономике).

Результат группировки представляют рядом вариант или интервалов вариант, расположенных в порядке их возрастания и рядом соответствующих частот. Под частотой mi признака или интервала понимают число членов выборки с данной вариантой xi или, соответственно, число членов выборки, варианты которых лежат в i – м интервале. Относительной частотой h_i называется отношение частоты m_i к объему выборки:

Таким образом, если проведена группировка, то значению x_i или i – му интервалу (i = 1,..., k) будут отвечать частоты m_i и относительные частоты

при этом а все выборочные значения, попавшие в i –ый интервал, заменяют серединой интервала u_i

Пример 1. В обувном магазине за день продали 30 пар мужской обуви следующих размеров:

39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 42, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 39, 41, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 44.

Решение: Проведем группировку по отдельным значениям признака, то есть по размеру обуви (дискретная группировка):

xi								
mi
hi	0,067	0,133	0,133	0,233	0,2	0,133	0,1

Итак, пусть x 1, x 2,..., xn − выборка объема n из генеральной совокупности, имеющей функцию распределения F (x). Числовые характеристики выборки называются выборочными (эмпирическими) числовыми характеристиками. Введем основные числовые характеристики:

− среднее арифметическое (среднее)

Если сделана дискретная группировка, то

при интервальной группировке

− выборочная (эмпирическая) дисперсия

При дискретной группировке

при интервальной группировке

− стандартное (среднее квадратическое) отклонение является корнем из выборочной дисперсии:

− коэффициент вариации

− выборочные начальные и центральные моменты порядка l (l=1, 2, 3…), соответственно, определяются формулами

при интервальной группировке

Оценка коэффициента асимметрии S_k (симметричность относительно среднего ) определяется по формуле

Оценка эксцесса E_x (меры островершинности распределения по сравнению с нормальным распределением).

Если E_x>0, то вершина более острая, а если E_x<0, то более плоская, чем у нормального распределения. У нормального распределения E_x=0

Выборочная мода

Для дискретного вариационного ряда (дискретная группировка) мода определяется как значение варианты с наибольшей частотой, если выборка достаточно большая.

При интервальной группировке выбирается интервал, которому соответствует наибольшая частота. Пусть это k-ый интервал (t_k-1-t_k), частота равна m_k, а ширина d, тогда

Выборочная медиана . Определяется, как значение признака, относительно которого выборка делится на две равные по объему части. Если выборка объема n представлена вариационным рядом, то

При интервальной группировке (интервальный вариационный ряд) сначала находят так называемый медианный интервал (t_s-1 – t_s), номер s которого определяют из неравенства:

Где - сумма частот всех интервалов левее медианного, - сумма частот, включающая частоту медианного интервала.