Практическая работа № 15

Тема работы: основы математической статистики. Закон распределения случайной величины

Теоретическая справка

Случайной величиной называется числовая переменная величина, принимающая в зависимости от случая те или иные значения с определёнными вероятностями. Число попаданий в цель при данном числе выстрелов, скорость молекулы газа являются типичными примерами случайных величин.

Для задания случайной величины нужно знать множество всевозможных её значений и вероятности, с которыми эта случайная величина принимает свои значения. Все эти данные образуют закон распределения случайной величины или распределение вероятности.

Будем называть две случайные величины x и y взаимно независимыми, если события x = x_i и y = y_j являются взаимно независимыми.

Пример

Пусть в мишень стреляют два стрелка. При этом закон распределения числа выбиваемых на мишени очков для первого стрелка задан таблицей:

	0,2	0,8

Аналогичный закон распределения для второго стрелка задан таблицей:

0,2	0,5	0,3

Найдём закон распределения суммы очков, выбиваемых обоими стрелками.

Составим таблицу – закон распределения случайной величины x + y, где x – количество очков, выбиваемых первым стрелком, а y – количество очков, выбиваемых вторым стрелком.

№ x y x + y Вероятность результата         0 ∙ 0,2 = 0         0 ∙ 0,5 = 0         0 ∙ 0,3 = 0         0,2 ∙ 0,2 = 0,04         0,2 ∙ 0,5 = 0,1         0,2 ∙ 0,3 = 0,06         0,8 ∙ 0,2 = 0,16         0,8 ∙ 0,5 = 0,4         0,8 ∙ 0,3 = 0,24

Значит, искомое распределение вероятностей задаётся таблицей

	0,04	0,1 + 0,16 = 0,26	0,06 + 0,4 = 0,46	0,24

Математическое ожидание Mx случайной величины x равно

Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Пример Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения

Задача 1. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины?

Задача 2. В магазине имеется 15 автомобилей определенной марки. Среди них 7 черного цвета, 6 серого и 2 белого. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки, безразлично какого цвета. Составьте ряд распределения числа проданных автомобилей черного цвета при условии, что автомобили отбирались случайно.

Задача 3. В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 20%. Составьте ряд распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года.

Задача 4. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти дисперсию этой случайной величины.

Задача 5. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины – числа импортных из четырех наудачу выбранных телевизоров. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.