Несобственные интегралы. Основные теоремы

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

-Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

-Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [ a,b ].

-Если сходится, то также сходится;
- Если расходится, то также расходится;
- Если сходится, то также сходится. В этом случае говорят, что интеграл является абсолютно сходящимся.

Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Дифференциальное уравнения первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения ДУ.

Уравнение F(x, y, y ') = 0,

где y = y(x) — неизвестная, непрерывно дифференцируема на (a,b) функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

Функция y = y(x) называется решением дифференциального уравнения F(x, y, y ') = 0, если она непрерывно дифференцируема на (a,b) и F(x, y(x), y '(x)) ≡ 0 для всех x из (a,b).

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение 1–го порядка имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия.

Задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y, y ') = 0, удовлетворяющего условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши (или начальной задачей).

Условие y(x₀) = y₀ — начальное условие.

Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1–го порядка, называется частным решением уравнения.

Общее решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x,y) = C, называется общим интегралом уравнения.

Частное решение уравнения, записанное в неявной форме Φ (x, y) = 0, называется частным интегралом уравнения.Теорема существования и единственности решения задачи Коши (теорема Коши)

Если уравнение функции f(x) и ее частная производная df/dy непрерывны в некоторой области Д, то данное уравнение имеет единственное решение удовлетворяющее условию y(x0)=y0

В точках плоскости, в которых нарушены условия теоремы Коши, называются особыми точками дифференциального уравнения. В этих точках терпит разрыв либо функция f(x,y) либо ее производная. Через каждую из таких точек может проходить либо несколько интегральных кривых, либо не проходит не одной.

Если линия состоит только из особых точек и является интегральной кривой ДУ, то функция y=φ(x) называется особым решением дифференциального уравнения.

Для того, чтобы найти особое решение ДУ, надо найти линию y=φ(x), в каждой точке которой терпит разрыв функция f(x,y) или ее производная, проверить является ли функция y=φ(x) решением данного уравнения.

Особое решение не содержится в общем решении, и не может быть выделено из него ни при каком конкретном значении с.