ДУ в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида

называется дифференциальным уравнением в полных диффернциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой гладкой функции F(x,y), т.е. если , . Необходимое и достаточное условие для существования такой функции имеет вид:

Чтобы решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах необходимо найти функцию F(x,y). Тогда общее решение дифференциального уравнения можно записать в виде F(x,y)=C для произвольной постоянной C.

Интегрирующим множителем для дифференциального уравнения

называется такая функция g(x,y), после умножения на которую дифференциальное уравнение превращается в уравнение в полных дифференциалах. Если функции M и Nв уравнении имеют непрерывные частные производные и не обращаются в ноль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако, общего метода для его отыскания не существует.

19. Линейные однородные дифференциальные уравнения n- порядка.

Уравнение

где x - независимая переменная, y - искомая функция, а функция F определена и непрерывна в некоторой области и во всяком случае зависит от , называется обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

1 -Уравнение вида y (n) = f (x). Решение дифференциального уравнения сводится к последовательному применению квадратур. Общее решение содержит n произвольных постоянных.

2 - Уравнение вида
F (x, y, y ', …, y (n)) = 0,
не содержащее явно неизвестную функцию y. Сделав замену y ' = z, где z = z(x), сводим данное уравнение к уравнению более низкого порядка. Решив его, заменяем z= y ' и находим y.

3- Уравнение вида
F (x, y (k), y (k + 1), …, y (n)) = 0,
не содержащее явно неизвестную функцию, а также несколько ее первых производных. Производим замену y (k) = z, где z = z(x). Решив полученное уравнение, заменяем z = y (k) и интегрированием находим y.

4-Уравнение вида
F (x, y, y ', …, y (n)) = 0,
не содержащее явно независимую переменную x.