Метод путем замены при интегрировании

Неопределенный интеграл и его свойства

Неопределенным интегралом называется совокупность всех первообраз∫f(x)dx = F(x)+ c f(x)- подынтегральная фун; F(x) dx – под интегральное выражение. Свойства:

1 - Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции (∫f(x)dx)1 =f(x)

2 - Диф от неопред интеграла равен подынтегральному выражению d(∫f(x)dx) =f(x)dx

Док-во: d(∫f(x)dx) =(f(x)dx)1dx= f(x)dx

3 - Неопред интеграл от алгебраической суммы фун равен сумме неопред интеграла от каждого слагаемого ∫(f(x)+ g(x))dx =∫f(x)dx+∫g(x)dx (*)

4 - Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

5 - Неопредел интеграл от диф функции равен самой функции + постоянная величина ∫dF(x) = F(x)+ c

Метод путем замены при интегрировании.

Если функция f (z) определена и имеет первообразную при z Z, а функция z = g (x) имеет непрерывную производную при x X и её область значений g (X) Z, то функция F (x) = f [ g (x)]  g' (x) имеетпервообразную на Х и

F (x) dx = f [ g (x)] • g' (x) dx = f (z) dz.