Цели и критерии оптимальности

Прежде чем перейти к рассмотрению процедуры формулировки целей и критериев, рассмотрим ряд общих положений.

Любой объект, относящийся к классу организационно-экономических, является управляемой системой. Управление системой общепринято разделять на планирование, регулирование, учет, контроль, анализ. На рис. 1.11 представлена крайне упрощенная схема системы управления с обратной связью, включающей сам объект управления, управляющий орган и информационную часть.

Пусть на входе системы (например, предприятия) лицом, ответственным за принятие решения, установлены план – желаемый результат ее функционирования – и ресурсы, обеспечивающие его реализацию. Действительный результат функционирования системы (продукция) измеряется информационной частью и сравнивается с планом. На основе анализа рассогласований управляющий орган (подразделения управления на предприятии) вырабатывает регулирующие воздействия на объект управления (цехи предприятия) с целью уменьшения рассогласований.

Независимо от характера и специфики исследуемого объекта его цели всегда относятся к двум категориям: развития и стабилизации.

Цели развития направлены на достижение новых, желательных в каком-то смысле состояний или характеристик объекта и соответствуют фазе управления “планирование” (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Упрощенная схема системы управления с обратной связью

Цели стабилизации направлены на сохранение или поддержание в определенном состоянии характеристик объекта и соответствуют фазе управления “регулирование”. Если рассматривать в качестве объекта исследования цех, то регулирующие воздействия подразделений управления выступают для него в качестве основных плановых показателей и ресурсов цеха, обеспечивающих реализацию плана предприятия (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Иерархическое построение системы управления

Таким образом, цели развития объекта вытекают из целей системы верхнего уровня или, по крайней мере, являются им логически непротиворечивыми. Поэтому корректная постановка задач “на развитие” системы обязательно предусматривает рассмотрение целей системы верхнего уровня и ее возможностей, формализующих их критериев оценки и формирование на этой основе ограничений, накладываемых системой верхнего уровня на объект исследования. Однако такого рода анализ весьма трудоемок и не всегда осуществляется на практике, что зачастую приводит к недостаточно обоснованным уровням ограничений.

Цели стабилизации в соответствии с вышесказанным способствуют достижению результатов целей развития (утвержденного плана) и определяются на уровне исследуемой системы. При постановке задач на “стабилизацию” оценивается оптимальность лишь одной из подсистем исследуемой системы – управляющей, при этом основные параметры объекта, определяющие его состояние, получены из решения задачи на развитие (или каким-нибудь иным способом) и зафиксированы.

Следует иметь в виду, что цели стабилизации для системы вовсе не эквивалентны целям развития для подсистем, как это может показаться из рассмотрения рис. 1.12. Цели развития для любого уровня определяют наилучшие в определенном смысле состояния систем данного уровня иерархии, т.е. “что нужно достичь“, в то время как цели стабилизации определяют наилучшие действия по их достижению, т.е. “каким образом” нужно достичь наилучшего состояния исходя из возможностей рассматриваемой системы. Поэтому для корректной формулировки целей развития необходима информация о целях и возможностях системы верхнего уровня, т.е. цели развития по уровням иерархии логически связаны, а для формулировки целей стабилизации достаточна информация только о возможностях исследуемой системы – логическая связь целей стабилизации по уровням иерархии может отсутствовать.

Качественными (точечными) называются цели, которые могут быть или достигнуты, или не достигнуты. Все результаты, приводящие к достижению цели, одинаково хороши, а все результаты, не приводящие к достижению цели, одинаково неудовлетворительны. Критерии оценки достижения подобных целей принимают только два значения: 1 – успех, 0 в противоположном случае. Чаше всего в модели подобные цели выступают в качестве ограничений.

Количественное (интервальное) определение цели заключается в стремлении увеличить (или уменьшить) значение некоторой величины – критерия оптимальности, зависимость которой от переменных и факторов модели и составляет целевую функцию математической модели. Здесь следует сделать следующее терминологическое замечание. В литературе по экономико-математическому моделированию широкое распространение получили термины “критерий эффективности” и “критерий оптимальности”. С точки зрения методологии моделирования смешивать эти термины неправомерно. Как уже было отмечено выше, оптимальное решение – это решение математической модели, наилучшее по некоторому показателю - критерию оптимальности. Но математическая модель лишь отражение действительности, построенное на основе учета основных количественных факторов. Действительность богаче модели в первую очередь за счет присутствия качественных факторов, не формализуемых моделью. Эффективное решение предполагает обязательный учет неформализуемых факторов, в связи с чем критерий эффективности математической модели в принципе не существует. Обычно эффективное решение явно или неявно заменяется оптимальным. Спецификой оптимальности является ее жесткая связь с критерием оптимальности, чего нет у эффективности. Критерий оптимальности при этом некоторая величина, имеющая экономический смысл. Наилучшее по критерию оптимальности решение вовсе не обязано совпадать с эффективным. Особенно ясно это видно при принятии решений в условиях многокритериальности – ведь критериев несколько, несколько оптимальных решений, а эффективное решение только одно. Эффективизация, базируясь и включая оптимизацию, в значительной мере носит эвристический характер из-за наличия неформализуемой информации. Таким образом, количественная цель формализуется критерием оптимальности, а не критерием эффективности.

Наиболее общий вид критерия оптимальности:

(1.19)

где E – критерий оптимальности; R – результат, получаемый от работы объекта; С – затраты на создание результата; – вектор параметров объекта, характеризующих его состояние; t – время; f – некоторая форма связи между отдельными составляющими критерия.

В дальнейшем критерий вида (1.19) будем называть обобщенным критерием оптимальности. Как видно из (1.19), основными составляющими критерия оптимальности являются затраты, результат и время. На практике под результатом понимают конечный эффект функционирования объекта по его основному назначению, в том числе результат, соответствующий целям создания объекта, и побочный результат, связанный с отрицательным воздействием на окружение. Результат может выражаться в любых единицах измерения (рублях, нормо-часах, штуках, тоннах, битах информации и т.д.). Числовые значения результата в зави­симости от времени, параметров объекта и характеристик окружения получают из моделей операций. Иногда на практике результат заменяют совокупностью значений параметров объекта, которые могут быть измерены и использованы для его косвенной оценки.

Затраты на создание результата в принципе могут выражаться как в стоимостной, так и в натурально-вещественной форме. Под затратами, выраженными в натурально-вещественной форме, понимают информационные, материальные, трудовые и другие виды ресурсов, потребляемые объектом на различных стадиях его жизненного цикла. Из-за трудности манипулирования с различными размерностями отдельных компонент результата и затрат их стараются привести к наиболее удобной и универсальной размерности – стоимостной. Для определения значений затрат в зависимости от времени, параметров объекта и окружения строят стоимостные модели.

Фактор времени, вводимый в обобщенный критерий оптимальности, учитывает характер распределения результата и затрат по стадиям жизненного цикла, изменения состояния оцениваемого объекта в процессе функционирования вследствие изменения его параметров. Учет в критерии оптимальности времени в явном виде приводит задачу к динамической постановке, что зачастую существенно усложняет ее решение.

Для соизмерения затрат и результата, относящихся к различным моментам времени, а также достижения сопоставимости разновременных затрат выявляется необходимость их приведения к единой системе отсчета времени. Наиболее простым путем сведения динамической задачи к статической является применение известной формулы дисконтирования затрат, в которой затраты на систему и полученный результат в стоимостном выражении приводятся к некоторому моменту времени Т, выбираемому исследователем из соображений удобства:

(1.20)

где – затраты на систему в i -й год жизненного цикла системы; t_i — текущее время, – годы начала разработки и снятия системы с эксплуатации, соответственно); – нормативный коэффициент приведения разновременных затрат.

Учет фактора времени с помощью выражения (1.20) позволяет в ряде случаев исключить составляющую “время” из обобщенного критерия (1.19), тем самым, упрощая проблему принятия решения и сводя ее к совместной оценке двух основных составляющих: результата и затрат. Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных форм связи результата с затратами в статической форме обобщенного критерия оптимальности, рассмотрим основную идею метода “стоимость - эффективность”, используемого в качестве предварительного этапа при анализе и выборе наилучшего варианта сложного объекта. Каждый вариант задается точкой на плоскости в координатах “результат — затраты”. Исследуя множество вариантов построения объекта, требуется выбрать варианты, наилучшие одновременно и по показателю результата, и по стоимости. Этим условиям удовлетворяют варианты, лежащие на верхней огибающей множества исследуемых вариантов, называемой иначе кривой решений. Для любого варианта, находящегося под кривой решений, можно найти хотя бы один вариант на кривой решений, лучший и по результату, и по стоимости). Кривая решений в общем случае будет иметь вид кривой с перегибом (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Кривая решений в координатах “результат – затраты”

При одновременном задании ограничений на результат и затраты задача выбора варианта, наилучшего по некоторому критерию, возникает при попадании в допустимый по ограничениям (верхний ле­вый) квадрант некоторой области кривой решений, причем естественно, что этот вариант обязан лежать на кривой решений. Конкретная форма обобщенного критерия оптимальности, т.е. форма связи результата с затратами, определяется принципом, положенным в основу решения о целесообразности создания системы. В настоящее время широко применяются пять принципов.

Содержанием первого устанавливается обязательность получения прибыли от работы системы, причем, чем больше прибыль, тем оптимальнее система. Формализацией этого принципа является критерий типа прибыли

(1.21)

Второйпринцип предполагает максимизацию результата на единицу затрат; его формализацией является критерий типа отношения

(1.22)

Любая из характеристик результата R и затрат С связаны при фиксированной величине другой может быть критерием оптимальности.

В этом случае возникают две широко применяемые постановки задачи оптимизации (третий и четвертый принципы):

· максимизация результата при объеме расходуемых ресурсов не выше заданного:

; (1.23)

· минимизация затрат при уровне результата не ниже заданного:

.(1.24)

В последнее время при проектировании и управлении организационно-экономическими объектами стал использоваться принцип (пятый), который формулируется как максимальный темп приближения эффективности к потенциально достижимому. Формализацией его являются критерии вида

(1.25)

Естественно, что варианты, являющиеся оптимальными по какому-то одному из рассмотренных критериев, вовсе не обязательно будут оптимальными по другим критериям. В общем случае ни одна из этих точек не совпадает с любой другой. Оптимальные значения по критериям (1.21), (1.22), (1.25) на кривой решений (соответственно точки 1, 2, 5 на рис. 1.13) не могут меняться местами и имеют постоянный порядок следования (5, 2, 1)слева направо. Точки 3, 4жестко связаны с величиной ограничений R_min и С _max, в связи с чем именно уровень задаваемых значений обеспечивает их перемещение по кривой решения.

Для критерия типа прибыли (1.21) в точке 1 значение . Так точка 1находится на ниспадающей ветви производной кривой решений dR / dC, то дополнительное вложение единицы затрат ∆ С приведет к получению дополнительного результата ∆ R < ∆ С, т.е., вкладывая дополнительно 1 руб., получаем дополнительный результат на величину, меньшую рубля, что является экономически нецелесообразным и приводит к понижению прибыли после достижения ею максимума в точке 1. В связи с этим значение γ = 1 можно рассматривать как критическое, а все решения при γ < 1 – экономически нецелесообразными.

Анализ расположения конкретных форм обобщенного критерия на кривой решений, практический опыт использования критериев позволяют сформулировать следующие рекомендации по их применению.

В качестве критериев, формализующих цели развития объекта, целесообразно применять только критерии типа прибыли (1.21), отношения (1.22) и отношения приращений (1.25). Использование критериев максимума результата (1.23) и минимума затрат (1.24) нежелательно в связи с тем, что исследователь при необоснованно заданных ограничениях не гарантирован от нахождения точки 4 левее точки 5 (рис. 1.13), что приведет к принятию экономически необоснованных решений.

В качестве критериев, формализующих цели стабилизации, оправдано применение всех пяти форм обобщенного критерия, так как внешние ограничения по R_min, С_max заданы.

Критерий формы прибыли наименее экономичен в смысле коэффициента γ, требует для своего применения одинаковой размерности результата и затрат, что на практике не всегда достижимо. Однако вследствие своей линейной формы при линейных зависимостях результата и затрат от факторов модели удобен для использования в качестве целевой функции в задачах линейного программирования.

Наиболее целесообразно применение критерия формы отношения, который может использоваться при любых размерностях результата и затрат, более экономичен, чем критерий формы прибыли. Однако его использование из-за нелинейной формы в задачах, сводимых к моделям линейного программирования, невозможно. В лучшем случае математи­ческая модель с критерием формы прибыли в качестве целевой функции формулируется как задача дробно-линейного программирования.

Критерий формы отношения приращений также может быть использован при любых размерностях результата и затрат. Хотя он является наиболее экономичным в смысле коэффициента γ, практические трудности, связанные с вычислением его значений (особенно для имитационных статистических моделей), до сих пор не привели к его широкому использованию.

Для нахождения решения в конфликтных ситуациях, реализуемых ограниченное число раз или всего один раз, рекомендации теории игр теряют свой смысл. В антагонистических конфликтных ситуациях выбор оптимального решения основывается на теории минимакса (максимина), базирующейся на максиминном критерии (критерии Вальда) – F_w.