Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Классификация систем массового обслуживания и показатели их эффективности



Среди экономических характеристик систем массового обслуживания наибольший интерес представляют следующие:

1) издержки ожидания в очереди;

2) издержки ожидания в системе;

3) издержки обслуживания.

В зависимости от сочетания приведенных характеристик, могут рассматриваться различные модели систем массового обслуживания. Наиболее известные модели имеют следующие общие характеристики:

· пуассоновское распределение вероятностей заявок;

· стандартное поведение заявок;

· правило обслуживания FIFO;

· единственная фаза обслуживания.

В теории массового обслуживания приняты сокращенные обозначения, в основе которых используются три буквы для первых трех параметров:

A / B / m,

где А – распределение промежутков времени между последовательно поступающими заявками; В – распределение времени обслуживания заявок; m – число обслуживающих устройств.

А и В принимают значения из следующего набора символов:

· М – показательное распределение;

· Er – распределение Эрланга порядка r;

· D – детерминированное распределение;

· G – распределение произвольного вида.

Модель А

Модель одноканальной СМО с пуассоновским входным потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания.

Наиболее часто встречаются задачи СМО с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют единственную очередь, которая обслуживается одним сотрудником. Если для систем этого типа выполняются следующие условия, то:

1) заявки обрабатываются по принципу FIFO, причем каждый клиент ожидает своей очереди до тех пор, пока не будет обслужен, независимо от длины очереди;

2) появление заявки является независимым событием, однако среднее число заявок, поступающих в единицу времени, неизменно;

3) процесс поступления заявок описывается пуассоновским распределением, причем заявки поступают из неограниченного множества;

4) время обслуживания описывается экспоненциальным распределением вероятностей;

5) темп обслуживания выше темпа поступления заявок.

При выполнении этих условий модель А описывается следующими уравнениями для самой известной модели – так называемой СМО типа

М / М /1,

где М – Марковские процессы распределения времени поступления и обслуживания с одним устройством. В системе М / М /1 время между двумя поступлениями в систему требований и время обслуживания имеют экспоненциальные распределения. Такая СМО используется как модель для одного процессора компьютерной системы или как стандартное устройство ввода-вывода (например, магнитный диск).

Основными параметрами, вычисляемыми для этой системы будут:

· число заявок в единицу времени – λ;

· число клиентов, обслуживаемых в единицу времени – m;

· среднее число клиентов в системе Ls = λ/(μ-λ);

· среднее время обслуживания одного клиента в системе (включает время ожидания и время обслуживания) – Ws = 1/(μ-λ);

· среднее число клиентов в очереди – Lq = λ2/μ(μ-λ);

· среднее время ожидания клиента в очереди – Wq = λ/μ(μ-λ);

· параметр утилизации (загруженности системы) – r = λ/μ$

· вероятность отсутствия заявок в системе – Р о = 1 - λ/μ;

· вероятность более чем k заявок в системе – Pn > k = (λ/μ) k +1;

· число заявок в системе – n.

Модель В

В многоканальной системе для обслуживания с двумя и более каналами предполагается, что клиенты ожидают в общей очереди и обращаются в первый освободившийся канал обслуживания. Пример такой многоканальной однофазной системы можно увидеть в банках (если там нет электронной очереди). Из общей очереди клиенты обращаются в первое освободившееся окошко для обслуживания.

В многоканальной системе поток заявок подчиняется пуассоновскому закону, а время обслуживания – экспоненциальному. Приходящий первый обслуживается первым, и все каналы обслуживания работают в одинаковом темпе. Для многоканальной системы из n каналов должно выполняться условие r / n < 1,

где r – параметр загрузки системы; n – минимальное количество каналов, при котором очередь не будет расти до бесконечности. В противоположном случае предельные вероятности существовать не могут.

Формулы для описания системы будут иметь вид:

· вероятность того, что система свободна

· вероятность того, что в системе находится n заявок – Pn = (rn/n!) P o;

· вероятность того, что заявка окажется в очереди –

Pq = { rn +1 / [ n!(n-r)]} P o;

· среднее число занятых каналов k ср = λ/μ = r;

· среднее число заявок в очереди –

· среднее число заявок в системе – Ls = Lq + r;

· время нахождения заявки в очереди – Wq = Lq /λ;

· время нахождения заявки в системе – Ls /λ.

Модель С

Модель с постоянным временем обслуживания обозначается как M / D /1, где символ D означает, что время обслуживания – постоянная величина, а не экспоненциально распределенное. В такиъх системах клиенты обслуживаются в течение фиксированного периода времени, как, например, на автоматической мойке автомобилей. Для модели С с постоянным темпом обслуживания значения величин Lq, Wq, Ls и Ws меньше, чем соответствующие значения в модели А, имеющей переменный темп обслуживания.

Формулы для описания модели С имеют вид:

· средняя длина очереди – Lq = λ2/[2μ(μ-λ)];

· среднее время ожидания в очереди – Wq = λ/[2μ(μ-λ)];

· среднее число клиентов в системе Ls = Lq + λ/μ;

· среднее время ожидания в системе – Ws = Wq +1/μ.

Иногда приходится указывать также емкость накопителя системы (обозначим E) или число источников нагрузки (обозначим И). В этом случае будет использоваться пятибуквенное обозначение:

А / В / m /E/И.

В случае отсутствия одного из последних индексов предполагается, что его значения сколь угодно велико.

Модель D

К модели с ограниченной популяцией относятся модели с ограниченным числом потенциальных клиентов системы обслуживания. Примером могут служить определение оптимального обслуживания оборудования предприятия имеющего ограниченное число станков определенного типа, например, пять.

Особенность этой модели, по сравнению с тремя рассмотренными ранее, заключается в том, что существует взаимозависимость между длиной очереди и темпом поступления заявок.

Запись вида D / M /2/20 означает систему с двумя обслуживающими приборами, постоянным временем между двумя последовательно поступающими заявками, показательным распределением длительности обслуживания и накопителем емкостью 20 заявок.

Модель Е

Модель с ограниченной очередью отличается от предыдущих тем, что число мест в очереди ограничено. В этом случае заявка, прибывшая в систему, когда все каналы обслуживания заняты, покидает систему не обслуженной, т.е. получает отказ. Как частный случай модели с ограниченной очередью можно рассматривать модель с отказами, если количество мест в очереди сократить до нуля.

Система обслуживания M / G /1 представляет систему с пуассоновским входным потоком, произвольным распределением времени обслуживания и одним обслуживающим устройством.





Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 1237 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...