Интерполяционный многочлен Лагранжа

"Пусть некоторая функция y=f(x) задана таблично:

i	xi	yi
	x0	y0
	x1	y1
.	.	.
.	.	.
.	.	.
n	xn	yn

Где x₀, x₁,..., x_n - узлы интерполяции. Причем, расстояние между узлами интерполяции произвольное.

В интерполировании находят значение функции в заданной точке x_k, принадлежащей отрезку [x₀;x_n], но x_k не совпадает ни с одним узлом интерполяции (x_k не равно x₀, x₁,...,x_n.)

Интерполяционную функцию подбирают из определенного класса функций. Часто такую функцию находят в виде интерполяционного многочлена F_n(x).

В качестве интерполяционного многочлена будем рассматривать интерполяционный многочлен Лагранжа L_n(x).

Многочлен Лагранжа строят следующим образом (24):

L_n(x)=l₀(x)+l₁(x)+l₂(x)+...+l_n(x), где l_i(x) вычисляется по следующей формуле (25):

Следовательно, интерполяционный многочлен Лагранжа для неравно отстающих узлов выглядит (26) [ 5 ]:

На практике данный способ реализуется следующим образом: используя формулу Лагранжа, найти приближенное значение функции:

i	xi	f(xi)
	-1	-1,35078
	-0,7	-0,14846
	1,3	3,50988
	2,5	16,13892
	5,6	177,07487

в точке t=2,005 с помощью:

1. Mathcad;

Excel.

Для того, чтобы найти приближенное значение функции в точке t=2,005 с помощью Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. Заполнить нижеприведенные ячейки:

2. Ввести в ячейку A9 текст n=4.

3. Заполнить нижеприведенные ячейки:

4. Ввести в ячейку B10 формулу =(C2*(D2-B3)*(D2-B4)*(D2-B5)*(D2-B6))/((B2-B3)*(B2-B4)*(B2-B5)*(B2-B6)).

5. Ввести в ячейку B12 формулу =(C3*(D2-B2)*(D2-B4)*(D2-B5)*(D2-B6))/((B3-B2)*(B3-B4)*(B3-B5)*(B3-B6)).

6. Ввести в ячейку B14 формулу =(C4*(D2-B2)*(D2-B3)*(D2-B5)*(D2-B6))/((B4-B2)*(B4-B3)*(B4-B5)*(B4-B6)).

7. Ввести в ячейку B16 формулу =(C5*(D2-B2)*(D2-B3)*(D2-B4)*(D2-B6))/((B5-B2)*(B5-B3)*(B5-B4)*(B5-B6)).

8. Ввести в ячейку B18 формулу =(C6*(D2-B2)*(D2-B3)*(D2-B5)*(D2-B4))/((B6-B2)*(B6-B3)*(B6-B4)*(B6-B5)).

9. Ввести в ячейку B20 формулу =B10+B12+B14+B16+B18.

В итоге получаем следующее:

Ответ: приближенное значение функции в точке t=2,005 равно 8,971563.