Метод итераций

"Систему вида (12) приведем к равносильной ей системе вида x=Ax. В развернутом виде новая система выглядит так:

(15)

Правая часть системы определяет отображение

(16)

Это отображение преобразует точку x(x₁,x₂,...,x_n) n- мерного пространства в точку y(y₁,y₂,...,y_n) этого же пространства. Выбрав начальную точку x⁰(x₀⁰,...,x_nⁿ) и подставив ее координаты в правую часть системы (15), можно построить итерационную последовательность: x⁰, x¹,..., xⁿ.

Условия, при выполнении которых отображение (16) будет сжимающим представлены в таблице:

Метрика	Условия сходимости
	(суммирование коэффициентов по столбцам)
	(суммирование коэффициентов по строкам)

При этом число q должно быть меньше единицы"[ 1 ]. ''Формула, позволяющая устанавливать момент прекращения итерационного процесса при достижении заданной точности результата:"[ 7 ]

Где

На практике данный способ реализуется следующим образом:

Решить систему уравнений:

методом Гаусса в:

1. Mathcad;

Excel.

Для того чтобы решить данную систему уравнений в Excel, нужно выполнить следующие действия:

1. Ячейки A1:E4 заполнить следующим образом:

2. Над данной системой выполнить элементарные преобразования, чтобы получить систему, у которой диагональные коэффициенты по модулю больше других коэффициентов соответствующей строки:

o Для того чтобы получить первое уравнение новой системы, нужно из второго уравнения первоначальной системы вычесть первое уравнение, т. е. в ячейку B7 ввести формулу =B3-B2 и протянуть ее до ячейки E7.

o Для того чтобы получить второе уравнение новой системы, нужно второе уравнение первоначальной системы сложить с первым уравнением, т. е. в ячейку B8 ввести формулу =B3+B4 и протянуть ее до ячейки E8.

o Для того чтобы получить третье уравнение новой системы, нужно из третьего уравнения первоначальной системы вычесть первое уравнение, т. е. в ячейку B9 ввести формулу =B4-B2 и протянуть ее до ячейки E9.

3. Разделить каждое уравнение полученной системы на соответствующий диагональный коэффициент:

o В ячейку B12 ввести формулу =B7/$B$7 и протянуть ее до ячейки E12.

o В ячейку B13 ввести формулу =B8/$C$8 и протянуть ее до ячейки E13.

o В ячейку B14 ввести формулу =B9/$D$9 и протянуть ее до ячейки E14.

В результате получаем следующее:

4. Последовательно из каждой строки выразить неизвестные x1, x2, x3:

В Excel данную картину можно изобразить следующим образом:

5. Нужно определить метрику:

o Найти q для метрики :

- В ячейку B21 ввести q1.

- В ячейку В22 ввести формулу =ABS(C18)+ABS(C19).

- В ячейку В23 ввести формулу =ABS(D17)+ABS(D19).

- В ячейку В24 ввести формулу =ABS(E17)+ABS(E18).

Таким образом, максимальным из полученных значений является q1=0,449<1, т. е. подходит.

- В ячейку A22 ввести выражение q1=.

o Найти q для метрики :

- В ячейку D21 ввести q2.

- В ячейку D22 ввести формулу =ABS(D17)+ABS(E17).

- В ячейку D23 ввести формулу =ABS(C18)+ABS(E18).

- В ячейку D24 ввести формулу =ABS(C19)+ABS(D19).

Таким образом, максимальным из полученных значений является q2=0,735<1, т. е. подходит.

- В ячейку C23 ввести выражение q2=.

o Найти q для метрики :

- В ячейку F21 ввести q3.

- В ячейку F22 ввести формулу =D17^2+E17^2+C18^2+E18^2+C19^2+D19^2.

- В ячейку F23 ввести формулу =КОРЕНЬ(F22).

Таким образом, q3=0,533<1, т. е. подходит.

- В ячейку E23 ввести выражение q3=.

Проделанные вычисления представлены на рисунке:

Для дальнейших вычислений выбрать q минимальное, т. е. q=0,475, записать это значение в ячейку F26.

6. В ячейку G26 ввести текст а=.

7. В ячейку H26 ввести =0,001*(1-F26)/F26.

8. Заполнить диапазон ячеек B28:I28 следующим образом:

9. В ячейку B30 ввести формулу =$D$17*C29+$E$17*D29+$F$17.

10. В С30 ввести =$C$18*B29+$E$18*D29+$F$18.

11. В D30 ввести =$C$19*B29+$D$19*C29+$F$19.

12. В E30 ввести =ABS(B30-B29).

13. В F30 ввести =ABS(C30-C29).

14. В G30 ввести =ABS(D30-D29).

15. В H30 ввести =СУММ(E30:G30).

16. В I30 ввести =ЕСЛИ(H30<=$H$26;"ответ").

17. Выделить диапазон ячеек B30:I30 и методом протягивания заполнить нижние строки до получения слова "ответ" в одной из ячеек столбца I (диапазон ячеек B30:I35).

В конечном итоге получаем следующее:

Ответ: x₁=3.332, x₂ =3.561, x₃ =3.782.