Метод Гаусса. "Под названием «метод Гаусса» фигурирует группа методов, объединенных идеей последовательного исключения неизвестных

"Под названием «метод Гаусса» фигурирует группа методов, объединенных идеей последовательного исключения неизвестных. Будем считать матрицу системы (12) невырожденной:"[ 7 ]

(12)

"В методе Гаусса матрица системы линейных алгебраических уравнений с помощью элементарных алгебраических операций преобразуется в верхнюю (нижнюю) треугольную матрицу, получающуюся в результате прямого хода. В обратном ходе определяются неизвестные"[ 6 ].

На практике данный способ реализуется следующим образом:

Решить систему уравнений:

методом Гаусса в:

1. Mathcad;

Excel.

Для того чтобы решить данную систему уравнений в Excel, нужно выполнить следующие действия:

1. Заполнить ячейки следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении - они должны быть такими же, как на рисунке):

2. В ячейку E1 ввести текст Контрольные суммы, а в F1 – Строчные суммы.

3. В ячейку E2 ввести формулу =СУММ(A2:D2) (для подсчета контрольных сумм) и методом протягивания заполнить ячейки E3, E4.

4. После этого необходимо выполнить "Прямой ход" - преобразование исходной системы к системе с треугольной матрицей, на главной диагонали которой стоят единицы. Для этого нужно выполнить следующие действия:

o Чтобы коэффициент при x₁ равнялся 1, нужно в ячейку A5 ввести формулу =A2/$A$2, затем методом протягивания скопировать ее в ячейки B5:D5.

o Над столбцом контрольных сумм необходимо выполнить те же действия, что и над коэффициентами при неизвестных, следовательно в ячейку E5 нужно ввести формулу =E2/$A$2.

o В ячейку F6 ввести формулу =СУММ(A5:D5) (для подсчета строчных сумм).

o В ячейку A6 ввести формулу =A3-$A$3*A5 (для обнуления коэффициента при x₁ во втором уравнении системы), заполнить этой формулой методом протягивания диапазон ячеек B6:E6.

o В ячейку A7 ввести формулу =A4-A5*$A$4 (для обнуления коэффициента при x₁ в третьем уравнении системы), заполнить этой формулой методом протягивания диапазон ячеек B7:E7.

o В ячейку B8 ввести формулу =B6/$B$6, заполнить этой формулой методом протягивания диапазон ячеек C8:E8.

o В ячейку B9 ввести формулу =B7-B8*$B$7, заполнить этой формулой методом протягивания диапазон ячеек C9:E9.

o В ячейку C10 ввести формулу =C9/$C$9, скопировать эту формулу в диапазон ячеек D10:E10.

o Формулой из ячейки F5 методом протягивания заполнить ячейки F6:F10 (следует обратить внимание на то, что значения в столбцах строчных и контрольных сумм попарно равны).

5. После этого необходимо выполнить "Обратный ход" - последовательное нахождение значений x₃, x₂, x₁. Для этого нужно выполнить следующие действия:

o В ячейки C11, B12, A13 ввести единицы.

o В ячейку D11 ввести формулу =D10 и скопировать ее в ячейку E11.

o В ячейку F11 ввести формулу =A11+B11+C11+D11.

o В ячейку D12 ввести формулу =D8-C8*D11.

o В ячейку E12 ввести формулу =E8-C8*E11.

o В ячейку D13 ввести формулу =D5-C5*D11-B5*D12.

o В ячейку E13 ввести формулу =E5-C5*E11-B5*E12.

o Формулу из ячейки F11 скопировать диапазон ячеек F12:F13.

6. Таким образом, получены x₃, x₂, x₁. Для проверки правильности решения задачи необходимо выполнить следующие действия:

o Диапазон ячеек A15:A18 последовательно заполнить следующими словами: проверка, 1 уравнение, 2 уравнение, 3 уравнение.

o В ячейку C16 ввести формулу =A2*$D$13+B2*$D$12+C2*$D$11, затем скопировать ее в диапазон ячеек C17:C18.

7. Нужно обратить внимание, что полученный результат в ячейках C17:C18 полностью совпадает с ячейками D2:D4, следовательно, задача решена верно.

Таким образом, получаем следующее:

Ответ: x₁=3.333, x₂ =3.561, x₃ =3.782.