Определение угловой скорости и углового ускорения тела

Задача 3. На рисунке 13 показана схема планетарного механизма, состоящего из неподвижного колеса радиуса , кривошипа (водила) , вращающегося вокруг оси колеса 1, и подвижного колеса 2, шарнирно соединенного с кривошипом . При вращении кривошип заставляет колесо 2 катиться без скольжения по колесу 1. Определить скорость и ускорение точки М.

Дано:

,

.

Рисунок 13

Решение

Точка М принадлежит колесу 2. Для определения скорости и ускорения этой точки необходимо найти скорость и ускорение какой-нибудь другой точки, которая в последствии будет принята за полюс колеса 2. В качестве полюса следует принимать такую точку, скорость и ускорение которой либо известно, либо не трудно найти. В донном случае такой точкой является шарнир А. Точка А принадлежит одновременно двум звеньям механизма: колесу 2 и кривошипу ОА.

Определим скорость и ускорение шарнирной точки . Известны угловая скорость и , поэтому скорость и ускорение определяются по формулам (12)-(14):

где

Вектор скорости точки направлен перпендикулярно прямой в сторону вращения кривошипа , то есть вверх (рисунок 14). Так как направление совпадает с направлением , то тангенциальная составляющая ускорения совпадает с направлением скорости точки , а нормальное ускорение направлено от точки А к оси вращения.

Рисунок 14

Определим угловую скорость колеса 2. Рассуждения при выборе метода решения выполняются в следующей последовательности: закон движения колеса 2 неизвестен, колесо 2 совершает плоское движение и известно положение мгновенного центра скоростей (точка Р на рис. 14), который находится в точке контакта колес 1 и 2, так как колесо 2 катится без скольжения по неподвижному колесу 1.

Определим угловое ускорение колеса 2.

Зависимости и неизвестны, однако расстояние от точки А до мгновенного центра скоростей (точки Р) постоянно и равно , следовательно, можно найти производную по времени от угловой скорости (тангенциальная составляющая ускорения точки А – найдена ранее).

Определение скорости и ускорение точки колеса 2.

Рассуждения при выборе метода решения производятся в следующей последовательности: точка принадлежит телу, входящему в состав механизма, однако угловая скорость этого тела и его ускорение известны (определены ранее), тело совершает плоское движение, причем известны скорость и ускорение точки (также определена ранее).

Приняв точку за полюс, согласно (16) и (17) получим

(26)

где .

Спроектировав (26) на оси и (рисунок 15), получим

.

Рисунок 15

Согласно формул (18) – (29), получим

, (27)

где

Спроектировав (27) на оси координат (рисунок 16), получим:

Рисунок 16

;

.

Задача 4. На рисунке 17 показана схема дифференциального механизма, состоящего из вращающихся вокруг оси 0 колеса 1 и кривошипа , и колеса 2, которое в результате взаимодействия с кривошипом 2 при помощи плоского шарнира катится без скольжения относительно колеса 1.

Дано:

.

Определить угловую скорость и угловое ускорение колеса 2.

Рисунок 17

Решение.

Определим угловую скорость колеса 2

Заметим, что точка контакта колес не является в данной задаче мгновенным центром скоростей, так как колесо 1 вращается и скорости всех его точек (кроме точки ) не равные нулю.

Чтобы определить угловую скорость колеса 2 из формулы (17), надо знать скорость какой-либо точки колеса во вращательном движении вокруг другой точки. Для этого предварительно определим скорости точке и колеса 2.

Так как точка одновременно принадлежит кривошипу , то ее скорость равна

Скорости точек колес 1 и 2 одинаковые, так как они вращаются без проскальзывания друг относительно друга. Так как угловая скорость колеса 1 известна, то

Направление скоростей точек А и В показано на рисунке 18.

Так как тело совершает плоское движение, то приняв точку В за полюс, можно записать векторное уравнение (см. п.1.4):

(28)

Рисунок 18

Вектор направлен перпендикулярно прямой АВ. Предположим, что он направлен влево. Спроектировав (28) на оси Х, получим

, откуда .

Из того, что следует, что выбранное направление вектора оказалось верным.

. (29)

Определим угловое ускорение колеса 2.

Так как ускорение неизвестно, то выразим через и .

С учетом (29) получим

(30)

Так как точка А принадлежит вращающемуся кривошипу ОА, а точка В – колесу – 1, то

; ,

и из (30) следует

Знак минус в данном случае означает, что угловое ускорение колеса 2 направлено в сторону, противоположную угловым ускорениям кривошипа и колеса I, то есть по часовой стрелке (рисунок 18).

Задача 7. На рисунке 19 показана схема подъемного механизма, состоящего из барабана 1, на который наматывается трос, перекинутый через неподвижный блок 3 и закрепленный в точке Е. К центру подвижного блока 3 шарнирно прикреплен стержень (трос) с грузом А. Груз движется вертикально.

Дано:

;

;

.

Определить: скорость V и ускорение a груза А.

Решение. Груз А вместе со стержнем движется поступательно. Следовательно, достаточно определить скорость и ускорение точки С. Эта точка одновременно принадлежит блоку 3, совершающему плоское движение (движение не вращательное, так как центр блока перемещается), то есть

.

Следовательно, задача заключается в определении скорости и ускорения точки С тела, совершающего плоское движение.

Определим сначала скорость точки С.

Точка принадлежит нерастяжимой нити, следовательно, на участке нити МD скорость всех точек нити по модулю одинакова и равна скорости барабана 1, в которой точки троса начинают контактировать с барабаном (точка М нити не может перемещаться относительно точки М барабана). Следовательно,

Скорость точки определена она как , вектор скорости направлен вверх, рисунок 20.

Рисунок 20

Участок троса неподвижен, следовательно, точка блока 3 неподвижна, она является мгновенным центром скоростей. Из (21) следует

,

где - радиус блока 3.

Заметим, что так как в любой момент времени, то

Правая часть уравнения определяет тангенциальную составляющую ускорения точки М вращающегося тела, следовательно

.

Ускорение груза также направлено вверх, так как угловое ускорение барабана направлено против часовой стрелки и - влево.

Так как точка С движется прямолинейно, то