Кинематика точки

Движение точки считается заданным, если известны уравнения ее движения, т.е. зависимости изменения координат точки от времени. Движение характеризуется кинематическими параметрами: траекторией, скоростью и ускорением.

Траекторией точки называется кривая, которую она описывает в выбранной системе отсчета (координат).

Скорость точки равна векторной производной от радиус-вектора точки по времени, то есть

(1)

Скорость точки всегда направлена по касательной к траектории в сторону ее движения (рисунок1).

Ускорение точки равно векторной производной от вектора ее скорости по времени, то есть

(2)

Ускорение точки всегда направлено в сторону вогнутости траектории ее движения.

Закон движения точки считается известным, если заданы условия, позволяющие определять положение точки в любой момент времени.

При координатном способе задания закона движения точки задаются ее координаты как известные функции времени.

При рассмотрении движения в прямоугольной декартовой системе координат указанный способ заключается в задании координат точки как функции времени, то есть

(3)

Например, .

При естественном способе задания движения указываются траектории движения точки и закон ее движения по траектории

, (4)

где – дуговая координата

Любой вектор полностью определяется одним из двух способов:

а) проекциями вектора на координатные оси;

б) модулем вектора и его направлением в пространстве.

При координатном способе задания движения точки ее скорость и ускорение определяются проекциями на координатные оси

(5)

(6)

При естественном способе задания движения точки модуль скорости определяется по формуле

, (7)

где вектор направлен по касательной к траектории в сторону движения точки. Ускорение определяется проекциями на координатные оси: касательную - t и нормаль - n, т.е. ускорение точки состоит из двух взаимно перпендикулярных составляющих, называемых касательным (тангенциальным) ускорением и нормальным ускорением модули которых соответственно равны:

, (8)

, (9)

где r - радиус кривизны траектории в точке М.

Ускорение совпадает с направлением вектора скорости точки, если (движение ускоренное), или направлен в сторону, противоположную скорости, если (движение замедленное). Ускорение всегда направлен по главной нормали к траектории движения точки в сторону вогнутости траектории, рисунок 1.

Рисунок 1