Решение векторных уравнений

При решении задач кинематики часто встречаются ситуации, когда искомые скорость либо ускорение точки входят слагаемыми в векторные уравнения, вытекающие из (16), (18), (22) и (23).

Рассмотрим случай, когда все векторы, входящие в векторное уравнение, лежат в одной плоскости. Пусть имеется уравнение

(а)

Спроектировав это уравнение на координатные оси и , получим два алгебраических уравнения

(в)

Каждый вектор, лежащий в плоскости OX Y, полностью определяется двумя числами: либо проекциями на две координатные оси, либо модулем и углом, который вектор составляет с одной из осей координат. Из системы (в) можно найти только два неизвестных числа. Таким образом, если в векторном уравнении (а) известны все векторы, кроме одного, то система (в) позволяет определить его аналитически. Если в уравнении (а) неизвестны только два вектора по модулю, но известны по направлению, то система (в) позволяет определить эти неизвестные модули аналитически.

Кроме одного векторного уравнения при решении задач встречается система уравнений типа

(с)

Эта система легко приводится к одному уравнению типа (а)

из которого, как указано выше, можно аналитически найти либо один неизвестный вектор, либо модули двух векторов. После этого из 1-го либо из 2-го уравнения системы (с) можно определить неизвестный вектор a.

Задача 1. На рисунке 11 показана кинематическая схема механизма, состоящего из вращающегося с заданной угловой скоростью кривошипа AB, шатуна BC и коромысла СD.

Рисунок 11

Все звенья соединены между собой и стойкой при помощи плоских шарниров. Требуется определить скорость шарнира C в указанном на рисунке положении механизма. Длины звеньев указаны на рисунке в метрах.

Решение.

Точка C принадлежит коромыслу CD, совершающему вращательное движение. Следовательно, вектор направлен перпендикулярно отрезку CD и равен модулю:

(е)

Так как угловая скорость неизвестна, то из этой формулы невозможно определить модуль вектора .

С другой стороны, точка C принадлежит и телу CB, совершающему плоское движение. Поэтому, приняв точку B за полюс, можно записать следующее векторное уравнение (см. п.1.4):

(f)

Вектор направлен перпендикулярно прямой BC (рисунок 11), а скорость точки B, как принадлежащей одновременно вращающемуся телу AB, направлена перпендикулярно отрезку AB и равна по модулю:

.

Таким образом, в уравнении (f) вектор известен полностью, а остальные два вектора – только по направлению спроектировав (f) на оси и получим систему алгебраических уравнений

(g)

Из первого уравнения системы находим, что модуль искомой скорости . Направление вектора указано на рисунке 11 верно, так как в результате решения оказалось, что .

Если бы требовалось определить угловые скорости звеньев и , то из (e) получим

.

Угловая скорость направлена против часовой стрелки (направление вращения вектора вокруг оси ).

Так как при плоском движении , то из второго уравнения системы (g) находим

и

.

Угловая скорость направлена против часовой стрелки (направление вращения вектора вокруг полюса В).

Задача 2. Определить ускорение точки механизма, показанного на рисунке 11, если .

Решение. Так как точка принадлежит звену , совершающему вращательное движение, то

(h₁)

где , а вектор известен только по направлению (рис.12), так как и неизвестно. Так как точка принадлежит одновременно звену , совершающему плоское движение, то

(h₂)

где и вектор известен только по направлению (значение неизвестно). Из системы уравнений (h₁) и (h₂) получаем:

(р)

так как точка В принадлежит вращающемуся телу АВ и , т.к. , то .

Рисунок 12

В уравнении (р) вектора известны как по модулю, так и по направлению, а вектора и - только по направлению. Спроектировав уравнение (р) на 2 оси, получим 2 уравнения для нахождения модулей векторов и . Для решения поставленной задачи достаточно найти только . поэтому, спроектировав уравнение (р) на ось , получим

,

откуда

.

Теперь в правой части уравнения (h₁) оба вектора известны и по модулю и по направлению. Спроектировав это уравнение на оси координат, найдем проекции искомого вектора на неподвижные оси и .

Спроектировав (р) на ось , можно определить модуль вектора , что, в свою очередь, позволяет при необходимости найти угловое ускорение звена , так как

Знак (-) означает, что вектор имеет направление, противоположное тому, которое показано на рис.12.

Угловое ускорение направлено по часовой стрелке.

В полном объеме теоретические основы кинематики изложены в учебниках [1,2].