Черкаси - 2000

Черкаський державний університет ім. Богдана Хмельницького

Кафедра теоретичної фізики та методики викладання фізики

Алексашина Євгенія Олександрівна

Чисельні методи в фізиці

Дипломна робота

Спеціальність: 7.070101 – фізика та математика

Науковий керівник -

кандидат фізико – математичних наук

доцент Ляшенко Ю.О.

Черкаси - 2000

Зміст

ВСТУП.. 5

РОЗДІЛ 1 Методи наукового програмування. 7

1.1. Місце чисельних методів в науковому програмуванні 7

1.2. Математичне моделювання. 7

1.3. Процес чисельного розв'язку. 10

1.4. Інформатика і наукове програмування. 12

РОЗДІЛ 2 Розв'язок деяких алгебраїчних задач. 13

2.1. Побудова графіків функцій. 13

2.2. Пошук мінімуму та максимуму функції 17

2.2.1. Метод рівномірного пошуку. 17

2.2.2. Метод дихотомії пошуку максимального значення функції 18

2.3. Знаходження коренів нелінійних рівнянь. 20

2.3.1. Метод рівномірного пошуку. 20

2.3.2. Метод дихотомії 20

2.3.3. Метод простих iтерацiй. 22

2.3.4. Метод Ньютона. 25

2.3.5. Модифікації методу Ньютона. 26

2.4. Знаходження коренів системи лінійних рівнянь. 28

2.4.1. Метод Гауса розв’язку системи лінійних рівнянь. 28

2.5. Знаходження коренів системи нелінійних рівнянь. 30

2.5.1. Модифікований метод Ньютона. 30

2.5.2. Використання багатовимірної оптимізації для розв’язку системи рівнянь. 33

РОЗДІЛ 3 Методи інтегрування. Використання в фізиці 36

3.1. Знаходження визначених інтегралів. 36

3.1.1.Метод трапецій. 36

3.1.2. Магнітне поле витка. 38

3.2. Метод Монте-Карло обрахунку інтегралів. 47

РОЗДІЛ 4 Інтерполяційні формули. 50

4.1. Задачі інтерполяції та апроксимації 50

4.2. Форма Лагранжа. 51

4.3. Інтерполяційна формула Ньютона. 51

4.4. Сплайн-апроксимація. 53

4.4.1. Сплайн-інтерполяція з зглажуванням. 54

4.5. Наближення експериментальних даних по методу найменших квадратів. 55

РОЗДІЛ 5 Розв’язок звичайних диференціальних рівнянь та їх систем. 60

5.1. Розв'язок диференціальних рівнянь I порядку методом Ейлера. 60

5.2. Методи Рунге-Кутта. 62

5.2.1. Явні методи типу Рунге-Кутта. 63

5.2.2. Автоматичний вибір кроку інтегрування. 65

5.3. Розв'язок системи диференціальних рівнянь I-го порядку. 66

5.4. Розв'язок диференціальних рівнянь II-го порядку. 68

5.5. Перехід до хаосу при розв'язку систем звичайних диференціальних рівнянь. 69

5.6. Крайові задачі 70

РОЗДІЛ 6 Рівняння з частинними похідними. 73

6.1. Класифікація рівнянь з частинними похідними. 73

6.2. Параболічні рівняння. 74

6.3. Задачі дифузійного типу. 76

6.4. Типи граничних умов. 77

РОЗДІЛ 7 Кінцево-різницеві апроксимації та параболічні і гіперболічні диференціальні рівняння. 79

7.1. Кінцево-різницева апроксимація частинних похідних. 79

7.2. Явна різницева схема для параболічного рівняння. 80

7.3. Алгоритм обчислень по явній схемі 82

7.4. Неявні методи. 82

7.5. Розв'зок гіперболічних рівнянь. 85

7.6. Еліптичні рівняння. 87

7.6.1. Задача Діріхле. Рівняння Лапласа та Пуассона. 87

7.6.2. Алгоритм розв’язку еліптичних диференціальних задач методом Лібмана. 88

7.6.3. Метод Монте-Карло розв’язку еліптичних диференціальних задач. 89

РОДІЛ 8 ЛАБОРАТОРНІ РОБОТИ.. 91

ВИСНОВКИ.. 113

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ.. 114

ВСТУП

В педагогічне середовище інтенсивно проникають нові методи, які останнім часом широко застосовуються в навчальному процесі школи і вищих навчальних закладів. При цьому мова йде і про чисельні методи розв’язку математичних моделей фізичних задач.

У зв’язку з переходом на навчальні програми, що відповідають змісту навчання в університеті, актуальним напрямком у підготовці студентів є розвиток комп’ютерних методів обробки даних, розв’язку складних фізичних задач, які в більшості випадків не підлягають аналітичному розв’язку. Вважається доцільним детальна навчально-методична розробка курсу “Чисельні методи в фізиці”.

Актуальність даної роботи полягає в систематичному викладі основних чисельних методів, їх алгоритмізації та підборі комплектів завдань фізичного змісту з курсів загальної та теоретичної фізики, які можуть бути розв’язані на ЕОМ.

Метою дослідження є створення науково-методичної розробки по використанню чисельних методів в системі підготовки студентів по спеціальності “Фізика”.

Завданнями дипломного дослідження для досягнення поставленої мети є:

1. Вивчення наукової та методичної літератури по чисельних методах.

2. Опис чисельних методів, які дозволяють розв’язувати математичні моделі фізичних задач, разом з їх алгоритмізацією.

3. Підбір задач фізичного змісту, які можливо розв’язати чисельними методами. Для тестування реалізованих алгоритмів приводяться аналітичні розв’язки задач.

Даний напрямок дослідження дозволяє на систематичній основі здійснювати підготовку студентів з курсу “Чисельні методи в фізиці”, що співпадає з одним із основних напрямків діяльності кафедри теоретичної фізики по впровадженню комп’ютерної техніки в навчальний процес.

Отримані результати можуть слугувати навчально-методичними рекомендаціями під час вивчення курсу “Чисельні методи в фізиці”. Результати сформовані в вигляді опису необхідних для студента-фізика чисельних методів та їх алгоритмів, що за своїм змістом перевищує загальноприйняті стандарти. Так, зокрема, описано ряд методів по розв’язку рівнянь з частинними похідними різного типу декількома альтернативними методами. Практична значущість дипломної роботи полягає в розробці комплекту лабораторних робіт з підбором задач фізичного змісту, які студенти повинні розв’язати під час вивчення курсу “Чисельні методи в фізиці”. Ці завдання можуть бути використані в практичній діяльності вчителя фізики, як частина інтегрованого курсу комп’ютерна фізика.

Результати дипломного дослідження пройшли апробацію під час викладання курсу “Чисельні методи в фізиці” в Черкаському державному університеті.

Робота складається із вступу, основної частини і висновків. Основна частина включає в себе опис чисельних методів, які використовуються при знаходженні екстремумів функції (рівномірний пошук, метод дихотомії), розв’язку нелінійних рівнянь та їх систем (рівномірний пошук, метод дихотомії, метод простої ітерації, метод Ньютона, метод Гауса), знаходженні коренів систем нелінійних рівнянь

(модифікований метод Ньютона, багатовимірна оптимізація). Також приведені інтерполяційні форми Ньютона і Лагранжа, сплайн-апроксимація, метод найменших квадратів. Розглянуті чисельні методи інтегрування (метод трапецій, Сімпсона, Монте-Карло), методи розв’язку диференціальних рівнянь та їх систем (методи Ейлера, Рунге-Кутта, кінцевих різниць). А також методи розв’язку рівнянь параболічного (явна, неявна схеми), гіперболічного (явна схема) та еліптичного (методи Лібмана, Монте-Карло) типів.