Метод Рунге-Кутта

Метод Эйлера очень прост и нагляден, но и точность его очень низка. По этой причине он в основном используется в учебных целях для демонстрации сущности численных методов решения дифференциальных уравнений. На практике обычно используются более эффективные численные методы. К таковым, например, относят метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности

, (9.5)

где

(9.6)

, ,

, .

Схема (9.5), (9.6) используется в большинстве стандартных программ для решения обыкновенных уравнений.

В системе MathCAD метод Рунге_Кутта реализуется с помощью стандартной функции rkfixed - решается задачи Коши для заданных уравнений с постоянным шагом интегрирования.

Для этого систему (9.1) и начальные условия (9.2) запишем в векторной форме

,

где

- вектор искомых решений;

- вектор - функция правых частей уравнений;

- вектор начальных значений y при x = Xinit.

Обращение к функции:

rkfixed(Yinit, Xinit, Xfinal, nstep, F),

где Xfinal - конечное значение x, nstep - число шагов интегрирования; остальные обозначения пояснены выше.

Функция rkfixed возвращает матрицу значений следующего вида

	Значения x	Значения y0	Значения y1	…	Значения yn-1
x0=Xinit
x1=x0+h
x2=x1+h
…
x=Xfinal

В качестве примера на рисунке 9.3 приведено решение с помощью метода Рунге-Кутта уравнения

при произвольных начальных условиях - они задаются в самой программе. На рисунке 9.4

приведено решение методом Рунге - Кутта системы двух уравнений следующего вида

,

с начальными условиями x=0, u=0, v=5.

Поучительный пример приведен на рисунке 9.5, где построены решения уравнения

.

Интегральные кривые для данного уравнения - окружности с центром в начале координат и радиусом, равным y(0). Данное уравнение не имеет решения при y=0 - этому значению соответствует значение x=8. Однако, компьютер этого "не знает" и, начиная с x=8, выдает значения, не имеющие смысла. Попытка решить проблему с помощью уменьшению шага безуспешна, как это и следует из рисунка.