Предварительные сведения

Мы будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения, которые можно записать в виде следующей системы уравнений первого порядка:

(9.1)

Здесь x - независимая переменная, y₁, y₂, …, y_n - искомые неизвестные функции.

Общее решение системы (9.1) содержит n произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_n (констант интегрирования). Выбор этих постоянных определяет некоторое частное решение. Если частное решение получено по n начальным условиям, заданным в одной точке x₀,

, (9.2)

по которым определены соответствующие константы C₁, C₂, …, C_n, то такая задача называется начальной задачей или задачей Коши. Решение при этом обычно требуется найти на некотором отрезке x₀ £ x £ x_k, так что точку x=x₀ можно считать начальной точкой этого отрезка.

Основные методы решения дифференциальных уравнений мы будем рассматривать на примере одного уравнения вида

. (9.3)

ЗАДАЧА КОШИ НАЗЫВАЕТСЯ КОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННОЙ, если:

Решение задачи существует;

Решение единственно;

Решение устойчиво по начальным данным.

Напомним, что если правая часть f(x, y) уравнения (9.3) непрерывна и ограничена в некоторой окрестности точки x₀, то задача Коши имеет решение. Если правая часть не только непрерывна, но и удовлетворяет известному условию Липшица, то решение задачи Коши единственно и непрерывно зависит от начальных условий. Более подробные сведения по теории дифференциальных уравнений смотрите в специальной литературе.

Методы решения дифференциальных уравнений можно условно разделить на точные, приближенные и численные. Мы ниже рассмотрим только численные (разностные) методы, которые дают приближенные значения y на некоторой сетке значений x. Решение при этом получается в виде таблицы. Эти методы применимы к очень широкому классу уравнений и являются одним из основных способов решения практических задач.