Метод Эйлера. Примером простейшего разностного метода является метод Эйлера или метод ломанных

Примером простейшего разностного метода является метод Эйлера или метод ломанных. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (9.3). Разобьем отрезок [ x₀, x_k ] на n малых интервалов так, что получим некоторую последовательность (или сетку) значений аргумента x: x₀<x₁<x₂< … <x_n-1<x_n. Для упрощения задачи будем полагать, что длина шага h=x_i+1-x_i - постоянная величина. Разностная схема метода Эйлера имеет вид

. (9.4)

Это соотношение позволяет по предыдущему значению получить последующее. Для начала счета используется начальное значение y₀ в точке x₀.

Метод Эйлера имеет простую геометрическую интерпретацию (см. рис. 9.1). В начальной точке (x_o,y_o) мы рассчитываем правую часть уравнения, т.е. определяем касательную к решению в данной точке. Далее движемся по этой касательной до следующей точки. На каждом шаге мы заново находим касательную, и численное решение – ломаная линия (метод Эйлера часто называют методом ломаных). Существует оценка общей погрешности решения err: err = Cžh, где C – некоторая константа, зависящая от свойств функции f(x,y).

С уменьшением шага точность повышается, но одновременно растет объем вычислений. На практике часто используют следующий прием: вначале проводят расчет при некотором шаге h, затем - при шаге h/2 и сравнивают результаты; если они отличаются незначительно, то точность расчета считается удовлетворительной.

Ниже на рисунке 9.2 приведена программа решения по методу Эйлера задачи Коши для уравнения

.

Для сравнения также приведено точное решение.