Предварительные сведения. Пусть задана некоторая непрерывная функция y=f(x)

Пусть задана некоторая непрерывная функция y=f(x). Требуется найти такие значения x, для которых f(x)=0. Эти значения x называются корнями уравнения f(x)=0.

Все уравнения можно разделить на два больших класса: линейные и нелинейные уравнения. Решить линейное уравнение с одним неизвестным ax+b=0 просто, этот случай рассматривать здесь не будем.

В свою очередь, нелинейные уравнения также можно разделить на две большие группы: алгебраические и трансцедентные.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ можно записать в виде

, (8.1)

где n - целое число, a_i - заданные коэффициенты. Оно имеет n корней, включая кратные и комплексные.

ТРАНСЦЕДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ - нелинейные уравнения, которые содержат тригонометрические (например, sinx, cosx и т.п.) или другие специальные функции (например, lnx, e^x и т.п.). В общем случае количество корней трансцедентного уравнения заранее не известно.

Методы решения уравнений делятся на:

× прямые методы;

× итерационные методы.

ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и обеспечивают получение точного (без погрешностей метода) решения. Например, решение уравнения ax²+bx+c=0 дается формулой

.

В ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДАХ процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным. При этом обычно требуется задать некоторое начальное приближение корня, которое в ходе итераций уточняется. Если в ходе итераций получаются все более точные значения корня, то говорят, что метод итераций сходится, в противном случае он будет расходиться. Если некоторый итерационный метод расходится то это может быть вызвано следующими причинами:

1) отсутствием решения;

2) выбором неудачного начального приближения;

3) непригодностью используемого метода к решению данной задачи.

В общем случае рекомендуется следующая последовательность решения нелинейного уравнения f(x)=0:

× исследуется количество, характер и расположение корней;

× находятся некоторые приближенные значения корней;

× выбирается интересующий нас корень и проводится его уточнение.

В системе MathCAD первые два этапа удобно проводить графически: для этого строится график функции y=f(x) в нужном диапазоне значений x и визуально определяются координаты пересечения кривой с осью x. Дополнительно можно использовать возможности трассировки графиков и увеличения их масштаба.

Задача 1. Решить графически уравнение cos(x)-x-0.2=0.

Решение: График данной функции приведен ниже на рисунке 8.1. Правый график - увеличенный фрагмент графика, приведенного слева. Видно, что значения корня равно приблизительно 0.62.