Порівняння нескінченно малих функцій

Нехай і – нескінченно малі функції при , причому може бути як числом, так одним з символів . Тоді справедливі наступні означення.

Якщо , то функцію називають нескінченно малою функцією вищого порядку мализни в порівнянні з функцією , а функцію називають нескінченно малою функцією нижчого порядку мализни в порівнянні з функцією .

Якщо , то функцію називають нескінченно малою функцією нижчого порядку мализни в порівнянні з функцією , а функцію називають нескінченно малою функцією вищого порядку мализни в порівнянні з функцією .

Якщо і , , то функції та називають функціями одного порядку мализни.

Якщо , то нескінченно малі функції і називають еквівалентними. Позначення: .

Якщо і , , то функцію називають нескінченно малою функцією -го порядку мализни відносно нескінченно малої функції .

Теорема 4.1.

Границя відношення двох нескінченно малих функцій не зміниться, якщо кожну з них або яку-небудь одну замінити еквівалентними ним.

При обчисленні границь функцій зручно користуватися теоремою 17 і наступними основними еквівалентностями.

Основні еквівалентності при

Приклад 4.21.

Довести, що функції і при є нескінченно малими одного порядку.

Розв’язання. Знайдемо границю відношення заданих функцій:

,

Таким чином, дані функції є нескінченно малими одного порядку.

Приклад 4.22.

Чи є еквівалентними функції і при ?

Розв’язання. Знайдемо границю відношення цих функцій:

.

Таким чином, функція є нескінченно малою вищого порядку, ніж функція тобто дані функції не є еквівалентними.

Приклад 4.23.

Довести, що нескінченно малі функції і при є еквівалентними.

Розв’язання. Очевидно, що . Отже, і при x ® 0 є еквівалентними.

Приклад 4.24.

Знайти .

Розв’язання. При функція є нескінченно малою. Оскільки при заміні нескінченно малої функції еквівалентною їй функцією за теоремою 4.1. границя відношення не зміниться, то

.

Приклад 4.24.

Знайти .

Розв’язання. Оскільки при x ®0 , а і оскільки за теоремою 4.1 границя відношення не зміниться, то

.

Приклад 4.25.

Знайти .

Розв’язання. Тут чисельник і знаменник – нескінченно малі функції, проте, х не є нескінченно малою функцією, оскільки , а не до нуля. Введемо нескінченно малу , тоді . Маємо

.