Для якісної побудови графіка функції доцільно знайти точки перегину графіка функції, означення яких приведемо нижче.
|
| Диференційовану функцію  називають опуклою на інтервалі  , якщо її графік лежить нижче за будь-яку дотичну на цьому інтервалі (за виключенням точки дотику).
Диференційовану функцію називають угнутою на інтервалі , якщо її графік лежить вище за будь-яку дотичну на цьому інтервалі (за виключенням точки дотику).
|
|
| Диференційовану функцію називають нестрогоопуклою на інтервалі , якщо її графік лежить не вище за будь-яку дотичну на цьому інтервалі.
Диференційовану функцію називають нестрогоугнутою на інтервалі , якщо її графік лежить не нижче за будь-яку дотичну на цьому інтервалі.
|
Використовують також терміни “опуклість вгору” (опуклість) і “опуклість вниз” (угнутість). На рисунку 8.3 представлено графік функції , опуклий зліва від точки 
, угнутий праворуч від точки .
Рисунок 8.3 – Опуклість (угнутість) і
точка перегину графіка функції
| Зауваження.
| Функція  є одночасно нестрого опуклою та нестрого угнутою на інтервалі  .
|
|
| Точкою перегину графіка неперервної функції називають точку, що розділяє інтервали опуклості і угнутості.
|
Можна дати інше означення точок перегину графіка неперервної функції.
|
| Точкою перегину графіка неперервної функції називають точку, дотична до графіка функції в якій ділить графік на частини, що лежать по різні сторони від дотичної (у деякому околі точки дотику).
|
Геометричну інтерпретацію цього означення точки перегину представлено на рисунку 8.4.
Рисунок 8.4 – Дотична в точці перегину графіка функції
|
| Точки, в яких друга похідна функції дорівнює нулю або не існує, але функція зберігає неперервність, називають критичними точками другого роду.
|
Точки перегину слід шукати серед критичних точок другого роду.
| Теорема 8.9.
| (критерій опуклості (угнутості) функції)
Диференційована в інтервалі функція є опуклою (угнутою) в тоді і тільки тоді, коли  спадає (зростає) на інтервалі .
Диференційована в інтервалі функція є нестрого опуклою (нестрого угнутою) в тоді і тільки тоді, коли є незростаючою (неспадаючою) на інтервалі .
|
| Теорема 8.10.
| (достатня умова опуклості (угнутості) функції)
Якщо друга похідна функції  на інтервалі , то функція є опуклоюна цьому інтервалі.
Якщо друга похідна функції  на інтервалі , то функція є угнутоюна цьому інтервалі.
|
| Теорема 8.11.
| (необхідна умова перегину графіка функції)
Друга похідна  двічі диференційованої функції в точці перегину  дорівнює нулю, тобто  .
|
| Теорема 8.12.
| (достатня умова перегину графіка функції)
Якщо друга похідна двічі диференційованої функції під час переходу через деяку точку змінює свій знак, то є точкою перегину.
|
Послідовність дій при дослідженні функції 
