Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 4
Застосування похідної
Дослідження функції однієї змінної
Умови монотонності та екстремуму
Функцію називають зростаючою (неспадаючою) в деякому інтервалі Х, якщо для будь-яких , виконується нерівність . Функцію називають спадаючою (незростаючою) в деякому інтервалі Х, якщо для будь-яких , виконується нерівність . |
Визначену на деякому інтервалі зростаючу (спадаючу), або незростаючу (неспадаючу) функцію називають монотонною функцією. |
Теорема 8.1. | (критерій монотонності функції) Нехай функція визначена, неперервна та має скінченну похідну в усіх точках деякого інтервалу. Для того, щоб була неспадаючою (незростаючою) на цьому інтервалі, необхідно та достатньо виконання умови в усіх точках інтервалу. |
Теорема 8.2. | (критерій зростання (спадання) функції) Якщо функція визначена, неперервна та має скінченну похідну в усіх точках деякого інтервалу. Тоді для того, щоб була зростаючою (спадаючою) на цьому інтервалі, необхідно та достатньо виконання умов: 1) в усіх точках інтервалу; 2) не стає тотожньо нулем ні у якому проміжку з цього інтервалу. |
Теорема 8.3. | (достатня умова зростання (спадання) функції) Якщо в усіх точках деякого інтервалу перша похідна функції додатна , то функція на цьому інтервалі зростає. Якщо в усіх точках деякого інтервалу перша похідна функції від’ємна , то функція на цьому інтервалі спадає. |
Теорема 8.4. | (необхідна умова зростання (спадання) функції) Якщо диференційована функція зростає на деякому інтервалі, то похідна її невід’ємна на цьому інтервалі. Якщо диференційована функція f (x)спадає на деякому інтервалі, то похідна її не додатна на цьому інтервалі. |
Геометрично умова означає, що дотична до графіка монотонно зростаючої функції утворює з додатнім напрямом осі Ох гострий кут або паралельна їй.
Рисунок 10.1 – Графік монотонно зростаючої функції
Дотична до графіка монотонно спадаючої функції утворює з додатнім напрямом осі Ох тупий кут або паралельна їй.
Рисунок 10.2 – Графік монотонно спадаючої функції
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 1364 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!