Умови монотонності та екстремуму

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 4

Застосування похідної

Дослідження функції однієї змінної

Умови монотонності та екстремуму

Функцію називають зростаючою (неспадаючою) в деякому інтервалі Х, якщо для будь-яких , виконується нерівність . Функцію називають спадаючою (незростаючою) в деякому інтервалі Х, якщо для будь-яких , виконується нерівність .

Визначену на деякому інтервалі зростаючу (спадаючу), або незростаючу (неспадаючу) функцію називають монотонною функцією.

Теорема 8.1.

(критерій монотонності функції) Нехай функція визначена, неперервна та має скінченну похідну в усіх точках деякого інтервалу. Для того, щоб була неспадаючою (незростаючою) на цьому інтервалі, необхідно та достатньо виконання умови в усіх точках інтервалу.

Теорема 8.2.	(критерій зростання (спадання) функції) Якщо функція визначена, неперервна та має скінченну похідну в усіх точках деякого інтервалу. Тоді для того, щоб була зростаючою (спадаючою) на цьому інтервалі, необхідно та достатньо виконання умов: 1) в усіх точках інтервалу; 2) не стає тотожньо нулем ні у якому проміжку з цього інтервалу.
Теорема 8.3.	(достатня умова зростання (спадання) функції) Якщо в усіх точках деякого інтервалу перша похідна функції додатна , то функція на цьому інтервалі зростає. Якщо в усіх точках деякого інтервалу перша похідна функції від’ємна , то функція на цьому інтервалі спадає.

Теорема 8.4.

(необхідна умова зростання (спадання) функції) Якщо диференційована функція зростає на деякому інтервалі, то похідна її невід’ємна на цьому інтервалі. Якщо диференційована функція f (x)спадає на деякому інтервалі, то похідна її не додатна на цьому інтервалі.

Геометрично умова означає, що дотична до графіка монотонно зростаючої функції утворює з додатнім напрямом осі Ох гострий кут або паралельна їй.

Рисунок 10.1 – Графік монотонно зростаючої функції

Дотична до графіка монотонно спадаючої функції утворює з додатнім напрямом осі Ох тупий кут або паралельна їй.

Рисунок 10.2 – Графік монотонно спадаючої функції

Точки, в яких функція визначена, а похідна дорівнює нулю або не існує, називають критичними точками першого роду.

Зауваження.

При дослідженні функції на монотонність, слід перш за все знайти область визначення функції.