Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Умови монотонності та екстремуму



ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 4

Застосування похідної

Дослідження функції однієї змінної

Умови монотонності та екстремуму

  Функцію називають зростаючою (неспадаючою) в деякому інтервалі Х, якщо для будь-яких , виконується нерівність . Функцію називають спадаючою (незростаючою) в деякому інтервалі Х, якщо для будь-яких , виконується нерівність .
  Визначену на деякому інтервалі зростаючу (спадаючу), або незростаючу (неспадаючу) функцію називають монотонною функцією.
Теорема 8.1. (критерій монотонності функції) Нехай функція визначена, неперервна та має скінченну похідну в усіх точках деякого інтервалу. Для того, щоб була неспадаючою (незростаючою) на цьому інтервалі, необхідно та достатньо виконання умови в усіх точках інтервалу.
Теорема 8.2. (критерій зростання (спадання) функції) Якщо функція визначена, неперервна та має скінченну похідну в усіх точках деякого інтервалу. Тоді для того, щоб була зростаючою (спадаючою) на цьому інтервалі, необхідно та достатньо виконання умов: 1) в усіх точках інтервалу; 2) не стає тотожньо нулем ні у якому проміжку з цього інтервалу.
Теорема 8.3. (достатня умова зростання (спадання) функції) Якщо в усіх точках деякого інтервалу перша похідна функції додатна , то функція на цьому інтервалі зростає. Якщо в усіх точках деякого інтервалу перша похідна функції від’ємна , то функція на цьому інтервалі спадає.
Теорема 8.4. (необхідна умова зростання (спадання) функції) Якщо диференційована функція зростає на деякому інтервалі, то похідна її невід’ємна на цьому інтервалі. Якщо диференційована функція f (x)спадає на деякому інтервалі, то похідна її не додатна на цьому інтервалі.

Геометрично умова означає, що дотична до графіка монотонно зростаючої функції утворює з додатнім напрямом осі Ох гострий кут або паралельна їй.

Рисунок 10.1 – Графік монотонно зростаючої функції

Дотична до графіка монотонно спадаючої функції утворює з додатнім напрямом осі Ох тупий кут або паралельна їй.

Рисунок 10.2 – Графік монотонно спадаючої функції





Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 1364 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...