Рассмотрим дифференциальное уравнение

с начальным условием

.

Выбрав шаг h, положим .

Уточненный метод Эйлера заключается в следующем. Сначала вычисляем вспомогательное значение искомой функции в точке (6.14)

затем находим значение правой части дифференциального уравнения (6.1) в средней точке :

(6.15)

и, наконец, полагаем

. (6.16)

Таким образом, на каждом частичном отрезке [x_n, x_n+], (n=0,1,2,…) интегральную кривую заменяем отрезком прямой, проходящей через точку (x_n, x_n+1) и имеющей угловой коэффициент . Уточненный метод Эйлера - одношаговый метод. Оценим погрешность уточненного метода Эйлера на одном шаге. Согласно формуле (6.16)

=

. (6.17)

Воспользуемся формулой Тейлора для функции двух переменных

,

где - величина порядка . После применения формулы Тейлора равенство (6.17) запишется в следующем виде:

, (6.18)

где значения функции f(x,y) и ее производных вычисляются при у=у_n, х=х_n. Остаточный член есть величина порядка h², и, следовательно, есть величина порядка h³.

Сравниваем (6.12) и (6.18). Отсюда вытекает, что найденное при помощи уточненного метода Эйлера приближенное решение совпадает с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка h². Погрешность уточненного метода Эйлера на одном шаге есть величина порядка h³.

6.6. Методы Рунге – Кутта