Глава 1. Интерполирование 2 страница

; ; ; .

Формулу (1.14) можно записать в следующем виде:

.

Это символическое равенство следует понимать так. Выражение записывается по формуле бинома Ньютона и полученный многочлен умножается на y_m.

5. Табличные значения функции могут быть выражены через конечные разности различных порядков.

По определению

,

отсюда

.

Аналогично

,

отсюда

.

При помощи метода математической индукции можно показать, что

. (1.15)

Эту формулу можно записать компактно в символической форме:

.

1.6. Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть функция f(x) задана таблицей своих значений в равноотстоящих узлах и пусть точка интерполирования х находится близко от точки х₀ или слева от нее. Требуется построить интерполяционный многочлен. При построении многочлена для уменьшения погрешности интерполирования будем использовать узлы в порядке их удаления от точки х, т.е. в порядке их расположения в таблице х₀, х₁, …, х_т.

Ищем интерполяционный многочлен в виде

(1.16)

Полагаем в (1.16) х=х₀. Тогда имеем

.

С другой стороны, на основании условий (1.1) .

Таким образом, .

Далее, полагая в (1.16) и используя (1.1), имеем

.

Так как , , получаем

,

откуда

.

Для вычисления коэффициента а₂ полагаем в (1.16) , а также воспользуемся (1.1) и значениями коэффициентов а₀ и а₁:

;

;

.

Числитель полученной дроби на основании свойства 4 конечных разностей равен . Таким образом,

.

Последовательно продолжая этот процесс, получаем

.

Подставляя найденные значения коэффициентов в выражение (1.16), приходим к первой интерполяционной формуле Ньютона: (И. Ньютон (1643 – 1727) – выдающийся английский физик, механик, астроном и математик):

. (1.17)

Сравним полученную формулу с интерполяционной формулой Лагранжа. если построить интерполяционный многочлен по обеим этим формулам с использованием одних и тех же узлов, многочлены совпадут, так как эти две формулы дают две разные формы записи единственного интерполяционного многочлена. Однако интерполяционная формула Ньютона имеет преимущество перед интерполяционной формулой Лагранжа. Во-первых, если был построен интерполяционный многочлен по m узлам, а затем для уточнения ответа потребовался многочлен, построенный по (m+1) узлу, то для построения интерполяционного многочлена Лагранжа, как уже указывалось, необходимо всю работу выполнять с самого начала. При построении же интерполяционного многочлена Ньютона по (m+1) узлу достаточно к многочлену, построенному по m узлам, добавить одно слагаемое. Во-вторых, в формуле Лагранжа все слагаемые равноправны (каждое слагаемое – многочлен степени n). В интерполяционную формулу Ньютона в качестве слагаемых входят многочлены повышающихся степеней. Основной вклад при вычислении искомой величины дадут первые слагаемые интерполяционной формулы, определяемые ближайшими к х узлами. Остальные слагаемые дают лишь небольшие поправки. В этом случае легче избежать просчетов, а также установить, на каком слагаемом прекратить вычисления.

На практике первую интерполяционную формулу Ньютона используют обычно в другой форме записи.

Введем переменную

.

Тогда

;

и т.д.

После перехода к новой переменной q первая интерполяционная формула Ньютона запишется в следующем виде:

. (1.18)

Так как эта формула используется для интерполирования в точках х, лежащих близко от точки х₀, ее называют интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования в начале таблицы.

Отметим, что конечные разности, входящие в первую интерполяционную формулу Ньютона, расположены в верхней строке таблицы конечных разностей.

Погрешность первой интерполяционной формулы Ньютона запишется в виде

(1.19)

где - некоторая точка из интервала, содержащего узлы интерполяции.

1.7. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Пусть функция задана таблицей своих значений в равноотстоящих точках и пусть точка интерполирования х лежит вблизи конечной точки х_n таблицы или справа от нее. Для уменьшения погрешности интерполирования узлы интерполяции следует использовать в порядке х_n, x_n-1, x_n-2,…, x₀. Ищем интерполяционный многочлен в виде

(1.20)

Неизвестные коэффициенты а₀, а₁, …, а_n находим из условий (1.1) аналогично тому, как находили коэффициенты первой интерполяционной формулы Ньютона. положим в (1.20)

Тогда , т.е. .

Полагаем в (1.20) :

; .

Далее полагаем в (1.20) :

;

;

.

Продолжая аналогичные вычисления, получаем

.

(Доказать эту формулу можно при помощи метода математической индукции).

Подставляя полученные значения коэффициентов в (1.20), имеем

(1.21)

Полученная формула носит название второй интерполяционной формулы Ньютона, или интерполяционной формулы Ньютона для интерполирования в конце таблицы.

На практике вторая интерполяционная формула Ньютона, как и первая, применяется в преобразованном виде. Вводим переменную

.

Тогда

;

и т.д.

После введения новой переменной q формула (1.21) примет вид

(1.22)

Отметим, что вторая интерполяционная формула Ньютона содержит конечные разности, расположенные в нижней косой строке таблицы конечных разностей.

Погрешность второй интерполяционной формулы Ньютона запишется в виде

, (1.23)

где - некоторая точка интервала, содержащего узлы интерполяции.

Получены первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона. При записи этих формул используются все заданные точки таблицы (х₀, х₁, …, х_n).

Естественно, эти формулы дают один и тот же многчлен в разных формах записи. На практике применяются обычно многочлены невысоких степеней. Для построения многочлена степени m () требуется (m+1) точка. Если точка интерполирования х лежит в начале таблицы, строим по первой интерполяционной формуле Ньютона с использованием точек х₀, х₁, …, х_m.

Первая интерполяционная формула Ньютона запишется в этом случае в виде

, (1.24)

где .

Если же точка интерполирования х лежит в конце таблицы, строим по второй интерполяционной формуле с использованием точек х_n, x_n-1, x_n-2,…, x_n-m. Вторая интерполяционная формула Ньютона запишется в этом случае в виде

, (1.25)

где .

Чтобы выбрать степень интерполяционного многочлена, нужно установить связь между производными и конечными разностями. Пусть функция y=f(x) имеет непрерывные производные до порядка (n+1) на отрезке [a,b], содержащем узлы интерполирования. По определению производной имеем

.

Отсюда вытекает, что при малых h

.

Далее находим

.

Применяем дважды правило Лопиталя:

Таким образом,

.

Отсюда при малых h имеем

.

Аналогично можно показать, что

. (1.26)

Из формулы (1.26) получаем, что , т.е. разность пропорциональна . Если h достаточно мало, с ростом m быстро убывает. Значение m, при котором практически постоянны, дает нам целесообразную степень интерполяционного многочлена. Если продолжать построение таблицы конечных разностей, происходит накопление погрешностей, и значения конечных разностей получаются все более неточными.

Несколько слов об оценке погрешности интерполяционных формул Ньютона. Пусть интерполяционный многочлен есть многочлен степени m, записанный по одной из формул (1.24) или (1.25). тогда погрешность первой интерполяционной формулы Ньютона запишется в виде

, (1.27)

где .

Погрешность второй интеполяционной формулы Ньютона запишется в виде

, (1.28)

где .

Формулы (1.27) и (1.28) содержат , где . На практике часто бывает трудно, иногда же просто невозможно оценить величину .

Рассмотрим простой, хотя и очень грубый способ такой оценки. Согласно формуле (1.26) . Предполагаем, что производная на отрезке [a,b] меняется медленно. Тогда приближенно можно взять

.

Если расположение точки на отрезке [a,b] неизвестно, вместо лучше всего взять среднее арифметическое всех вычисленных конечных разностей порядка (m+1). Обозначим эту величину через . Тогда . (1.29)

Подставляя (1.29) в (1.27), получим формулу для оценки погрешности первой интерполяционной формулы Ньютона

(1.30)

Подставляя (1.29) в (1.28), получим формулу для оценки погрешности второй интерполяционной формулы Ньютона

. (1.31)

Пример. Функция f(x) задана таблицей своих значений:

x	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
f(x)	0,00000	0,04139	0,07918	0,11394	0,14613	0,17609	0,20412

Требуется вычислить f(1,03) и f(1,56).

Строим табл. 1.3 конечных разностей заданной функции.

Таблица 1.3

1,0	0,00000
1,1	0,04139	-360
1,2	0,07918	-303	-11
		-1
1,3	0,11394	-257	-12
		-2
1,4	0,14613	-223	-14
1,5	0,17609	-193
1,6	0,20412

Разности четвертого порядка можно считать практически постоянными. Поэтому для приближенного вычисления значений функции и заданных точках будем использовать интерполяционный многочлен четвертой степени. Тогда точка х=1,03 лежит в начале таблицы. Используем первую интерполяционную формулу Ньютона (1.24) при

x₀=1,0; h=0,1; m=4; .

Конечные разности, используемые в этой формуле, располдожены в верхней косой строке таблицы:

.

Вычисления производим с шестью знаками после запятой. В ответе последний знак отбрасываем:

.

Точка х=1,56 лежит в конце таблицы. Используем вторую интерполяционную формулу Ньютона (1.25) при

x_n=1,6; h=0,1; m=4; .

Конечные разности, используемые в этой формуле, расположены в нижней косой строке таблицы:

.

1.8. Интерполяционная формула Гаусса

Пусть функция f(x) задана таблицей своих значений в равноотстоящих узлах и пусть точка интерполирования х находится в середине таблицы между узлами интерполирования и , т.е. <x< . Предположим, что точка х расположена ближе к . При построении интерполяционного многочлена узлы используем в порядке их удаления от точки х, т.е. в порядке

x_k, x_k+1, x_k-1, x_k+2, x_k-2, …, x_k+m, x_k-m ().

Ищем интерполяционный многочлен в виде

. (1.32)

Полагая в (1.32) x= x_k и используя (1.1), имеем

, т.е. .

Далее, полагая в (1.32) x= x_k+1 и используя (1.1), получаем

;

.

Отсюда

.

Для вычисления коэффициента полагаем в (1.32) , а также используем формулу (1.1) и значения найденных коэффициентов и :

;

.

Отсюда

.

Аналогично находим

; ;…; .

Подставляя найденные коэффициенты в (1.32), получаем

. (1.33)

Получена интерполяционная формула Гаусса (К. Гаусс (1777 – 1855) – выдающийся немецкий математик, астроном, физик и геодезист).

Вводим новую переменную

.

Тогда

;

…

.

После введения новой переменной q интерполяционная формула Гаусса запишется в виде

(1.34)

где .

В табл. 1.4 показано, как расположены конечные разности, входящие в интерполяционную формулу Гаусса.

Таблица 1.4

Погрешность интерполяционной формулы Гаусса записывается в виде