![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В обратном ходе используются строки, содержащие единицы. Расставленные в конце схемы единицы помогают находить соответствующие данной переменной коэффициенты в нужных строках.
Во избежание накопления погрешностей отокругления весь расчет ведем с двумя запасными знаками, которые при записи решения системы отбрасываем.
Пример. Решить систему
.
Вычисления оформить в виде табл. 4.2.
Таблица 4.2
Х1 | -Х1 | Х3 | Свободные члены | ![]() |
-4 | -7 | -8 | ||
-2 | ||||
-3 | ||||
![]() | -2 | ![]() | -4 | |
![]() | ![]() | |||
-4 | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ||
Х3=2 | ![]() | |||
Х2=1 | ![]() | |||
Х1=0 | ![]() |
Последний столбец таблицы служит для контроля вычислений. Например, рассмотрим четвертую строку таблицы. Элемент b15=4 получен так же, как все остальные элементы строки, т.е. (-8)/2. После его вычисления проверяем, нет ли ошибки в вычислении элементов этой строки. Последний элемент строки должен равняться сумме всех остальных элементов строки:
1+1/2-2-7/2=-4.
Равенство верное, элементы четвертой строки вычислены без ошибки. Аналогично поступаем при заполнении остальных строк таблицы: последний элемент строки вычисляем по тем же правилам, по котрым вычисляются все остальные элементы строки, и только после его вычисления проверяем, равен ли он сумме всех остальных элементов строки.
В рассмотренном примере коэффициенты при неизвестных и свободные члены – точные числа. Вычисления велись без округлений, поэтому в ответе получены точные значения неизвестных.
В чем преимущество решения системы методом Гаусса по сравнению с решением системы по формулам Крамера? При непосредственном раскрытии определителей в формулах Крамера решение системы n уравнений с n неизвестными требует порядка n!n арифметических операций: уже при n=30 такое число операций недоступно для современных ЭВМ. Число операций умножения и деления, которые выполняются в схеме единственного деления, равно , т.е. порядка n3.
4.2. Вычисление определителей
при помощи метода Гаусса
Рассмотрим для простоты определитель третьего порядка
(4.15)
Пусть . Вынося
из первой строки за знак определителя, получим
1
где (j=2, 3) вычисляются по формулам (4.3). Умножаем первую строку определителя последовательно на
и
и вычитаем ее из второй и третьей строк соответственно:
1
0
=
, (4.16)
0
где (i=2, 3; j=2, 3) вычисляются по формулам (4.5).
Этим мы снизили порядок определителя на единицу. Применим к полученному определителю те же преобразования. Выносим из первой строки за знак определителя:
1
,
где вычисляется по формуле (4.7).
Умножаем первую строку полученного определителя на и вычитаем ее из второй строки определителя. Получаем
1
0
=
. (4.17)
Таким образом, определитель равен произведению ведущих элементов схемы Гаусса. Все ведущие элементы должны быть отличны от нуля. Если для какого-нибудь шага ведущий элемент равен нулю или близок к нулю, следует соответствующим образом изменить порядок строк и столбцов матрицы.
Пример. Вычислить при помощи метода Гаусса определитель
2 1 4
3 2 -1
-4 1 3.
Вычисления удобно оформить в виде табл. 4.3.
Таблица 4.3
Превый столбец | Второй столбец | Третий столбец | ![]() |
![]() | |||
-1 | |||
![]() | |||
1/2 | 7/2 | ||
1/2 | -7 | -13/2 | |
-14 | -13 | ||
![]() | |||
![]() |
Последний столбец страницы служит для контроля вычислений.
4.3. Вычисление обратной матрицы
при помощи метода Гаусса
Пусть дана неособенная матрица А:
…
А =
…
… … … …
…
Требуется найти матрицу, обратную данной. Обозначим
…
Х=А-1
…
… … … …
…
По определению обратной матрицы , где Е – единичная матица, т.е.
. (4.18)
Пусть
К-й столбец матрицы , а
к-й столбец единичной матрицы.
Тогда равенство (4.18) можно заменить следующими равенствами:
. (4.19)
Таким образом, определение элементов обратной матрицы эквивалентно решению n систем линейных алгебраических уравнений вида . Все они имеют одну и ту же матрицу коэффициентов А, а отличаются только свободными членами. Поэтому решение этих n систем можно объединить в одну схему, рассматривая одновременно n столбцов свободных членов.
Пример. Найти обратную матрицу для матрицы
1 2 -1
0 1 3
2 -1 -2.
Вычисление оформить в виде табл. 4.4.
Таблица 4.4
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
-1 | ||||||
-1 | -2 | |||||
-5 | -2 | -6 | ||||
-2 | ||||||
-2/15 | 5/15 | 1/15 | 19/15 | |||
![]() | ![]() | ![]() | 19/15 | |||
![]() | ![]() | ![]() | 18/15 | |||
![]() | ![]() | ![]() | 28/15 |
Ответ:
1 5 7
6 0 -3
-2 5 1.
4.4. Некоторые сведения из линейной алгебры
1. Сходимость последовательностей векторов и матриц. Пусть в n–мерном пространстве задана последовательность векторов
(к=1, 2, …).
Вектор называется пределом этой последовательности, если существуют n конечных пределов и
.
Последовательность Х(к) н называется сходящейся к вектору Х. Аналогично, если имеется последовательность квадратных матриц , пределом этой последовательности называют матрицу А с элементами
при условии, что все эти n2 пределов существуют.
Определенная таким образом сходимость называется сходимостью по составляющим, или покомпонентной сходимостью.
2. Нормы векторов и матриц. Введем понятие нормы вектора, обобщающее понятие длины вектора. Нормой вектора Х называется действительное число , удовлетворяющее следующим условиям:
1.) при
и
;
2.) при любом числовом множителе с;
3.) .
(Вместо второго и третьего уравнений можно записать условие ). Вводить норму вектора можно различными способами, только бы выполнялись условия пп. 1 – 3. Укажем наиболее применимые нормы векторов:
1.) (4.20)
2.) (4.21)
3.) (евклидова норма). (4.22)
Третья норма вектора – это длина вектора. Можно проверить, что для всех трех норм выполняются условия пп. 1 – 3.
Рассмотрим понятие нормы матрицы. Нормой квадратной матрицы Ф называют число , удовлетворяющее следующим условиям:
1.) при
и
;
2.) при любом числовом множителе с;
3.) ;
4.) .
Норма матрицы может быть введена различными способами. В большинстве задач приходится одновременно рассматривать и матрицы, и векторы. Поэтому целесообразно вводить норму матрицы так, чтобы она была разумным образом связана с нормой вектора, введенной в рассматриваемой задаче. Норма матрицы А согласована с нормой вектора, если для любой матрицы А порядка n и любого вектора Х размерности n выполняется неравенство:
. (4.23)
Норму матрицы, согласованную с заданной нормой вектора, можно ввести несколькими способами. Отметим наиболее применимые на практике нормы матриц:
1. (4.24)
Эта норма матрицы согласована с первой нормой вектора (4.20).
2. (4.25)
Эта норма матрицы согласована со второй нормой вектора (4.21).
3. , (4.26)
где - наибольшее собственное значение матрицы А*А (А* матрица, комплексно сопряженная с транспонированной матрицей А/).
Эта норма матрицы согласована с третьей нормой вектора (4.22). на практике иногда используется норма матрицы
. (4.27)
Эта норма матрицы также согласована с третьей нормой вектора (4.22).
В начале параграфа была рассмотрена сходимость последовательности векторов и матриц по компонентам. Введем понятие сходимости по норме.
Последовательность векторов Х(к) сходится к вектору Х по норме, если при
. Можно доказать, что в конечномерном пространстве сходимости по норме и по компонентам равносильны. Покажем справедливость этого утверждения для трех введенных нами норм векторов (формулы (4.20) – (4.22)). Пусть имеет место покомпонентная сходимость, т.е.
.
Покажем, что отсюда следует сходимость по норме. Действительно
при
;
при
;
при
.
Покажем также, что на сходимости по норме следует сходимость по компонентам. Пусть
.
Тогда
.
Отсюда
.
Пусть
или
.
Отсюда вытекает, что
так как первая норма вектора не превышает второй и третьей норм. А выше показано, что из условия вытекает покомпонентная сходимость.
Итак, показано, что покомпонентная сходимость последовательности векторов равносильна сходимости по норме.
Аналогично можно определить сходимость по норме последовательности матриц и показать, что сходимость по норме равносильна сходимости по компонентам.
4.5. Метод простой итерации
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 309 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!