Пусть дано дифференциальное уравнение. с начальным условием

с начальным условием

.

Выбрав достаточно малый шаг h, строим последовательность равноотстоящих точек . Заменим интегральную кривую на отрезке [x₀, x₁] отрезком прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент :

.

Подставляя в уравнение прямой х=х₁, получаем

.

Производим аналогичное вычисление на частном отрезке [x₁, x₂]. Получаем

.

Продолжая этот процесс, получаем формулу

. (6.13)

Это и есть расчетная формула метода Эйлера. Метод Эйлера, как видно из формулы (6.13), - одношаговый метод. В результате применения метода Эйлера интегральная кривая заменяется ломаной линией с вершинами в точках , , …. Первое звено линии касается истинной интегральной кривой в точке (рис. 6.1).

y

M₁ M₂ M₃

Y=f(x)

M₀

0 х₀ х₁ х₂ х₃ x

Рис. 6.1

Оценим погрешность метода Эйлера на одном шаге. Сравним (6.12) и (6.13).Найденное при помощи метода Эйлера приближенное решение совпадает с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка h. Следовательно, погрешность метода Эйлера на одном шаге есть величина порядка h².

Метод Эйлера – один из самых старых и широко известных методов численного решения дифференциальных уравнений. Его недостатки:

1.) малая точность;

2.) систематическое накопление ошибок.

Поэтому метод Эйлера применяется в основном для ориентировочных расчетов.

6.4. Уточненный метод Эйлера