![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
где ;
.
При грубой оценке погрешности на практике согласно формуле (1.26) можно положить
,
где - среденее арифметическое всех вычисленных конечных разностей порядка (2m+1).
Замечание 1. Если при практических расчетах возникает необходимость в построении интерполяционного многочлена нечетной степени, его можно получить из формулы (1.34) путем отбрасывания последнего слагаемого:
(1.36)
При этом погрешность запишется в виде
(1.37)
Замечание 2. При выводе интерполяционной формулы Гаусса (1.34) предполагалось, что точка интерполирования х лежит ближе к xk, чем к xk+1. Если заданная точка х лежит ближе к xk+1, можно вывести формулу, аналогичную формуле (1.34), используя узлы интерполяции в следующем порядке:
xk+1, xk, xk+2, xk-1, xk+3, ….
При отсутствии новой формулы можно воспользоваться формулой (1.34).
Пример. Для функции, заданной таблицей своих значений в примере параграфа 1.7, вычислить приближенно значение в точке х=1,22.
Точка х=1,22 лежит в середине таблицы между узлами xk=1,2 и xk+1=1,3.
Воспользуемся интерполяционной формулой Гаусса (1.34) при
m=2; xk=1,2; h=0,1; .
Значения берем из табл. 1.3:
;
.
1.9. Обратное интерполирование
Пусть функция y=f(x) задана таблицей своих значений . В предыдущих параграфах рассмотрено, как по заданному значению аргумента приближенно найти значение функции. зАдача обратного интерполирования заключается втом, чтобы по заданному значению функции y* найти аргумент x*, при котором
. Предположим, что на отрезке [a,b], содержащем узлы интерполяции, функция f(x) монотонна. Тогда существует однозначная обратная функция x=F(y). Она задана той же таблицей значений, что и функция y=f(x), только в роли значений аргумента выступают значения
, а
- соответствующие им значения функции. Обратное интерполирование в этом случае свелось к обычному интерполировнию для функции x=F(y). Строим интерполяционный многочлен
, воспользовавшись, например, интерполяционной формулой Лагранжа. Подставляя в
заданное значение y*, получим
.
Рассмотрим второй способ нахождения х*, который применим ко всякой функции f(x). Не меняя ролями функцию и аргумент, записываем интерполяционный многочлен по той или иной формуле. Неизвестное значение х* находим приближенно, решая уравнение
=у*. Если число узлов велико, то этот способ нахождения х* приводит к решению алгебраического уравнения высокой степени. Различные методы решения таких уравнений будут рассмотрены в гл. 3. Ниже остановимся на методе итерации. Будем рассматривать только случай равноотстоящих значений аргумента, т.е.
.
Пусть для определенности у* находится между у0 и у1. Строим интерполяционный многочлен по первой интерполяционной формуле Ньютона. Уравнение =у* принимает вид
. (1.38)
Разрешим это уравнение относительно q, стоящего при разности первого порядка. Получим
(1.39)
Метод итерации (метод последовательных приближений) заключается в следующем. Выбираем начальное приближение .
Подставляя в правую часть равенства (1.39), получаем
Подставляя вычисленное в правую часть равенства (1.39), получаем
Аналогично по находим
, а затем
и т.д.:
. (1.40)
В значительном числе случаев этот процесс сходится и дает в пределе точное решение уравнения.
На практике интерполяционный процесс заканчивают, когда два соседних приближения совпадают в пределах заданной точности. Последнее вычисленное приближение принимается за решение уравнения (1.38) – q*.
Найдя q*, определяем x* из соотношения
,
т.е. .
Пример. Функция y=f(x) задана таблично:
Х | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 |
у | 1,6487 | 1,8221 | 2,0138 | 2,2255 | 2,4596 |
Найти значение аргумента х*, для которого у*=1,7333. Строим табл. 1.5 конечных разностей заданной функции.
Таблица 1.5
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
0,5 | 1,6487 | |||||
0,6 | 1,8221 | |||||
0,7 | 2,0138 | |||||
0,8 | 2,2255 | |||||
0,9 | 2,4596 | |||||
Так как , для нахождения q* воспользуемся уравнением (1.39). подставляем в (1.39) у*, у0 и конечные разности из табл. 1.5:
;
.
Подставляем найденное в правую часть уравнения (1.41):
.
Аналогично находим
.
Четыре знака после запятой у и
совпали. Отсюда
;
.
1.10. Численное дифференцирование
Пусть функция f(x) задана таблицей своих значений на отрезке [a,b]. Требуется вычислить производную порядка m в некоторой точке х отрезка [a,b]. Задача эта может быть решена следующим образом. По заданным узлам интерполяции строим интерполяционный многочлен
. Тогда
, (1.42)
где - погрешность интерполирования.
Дифференцируем тождество (1.42) m раз в предположении, что f(x) имеет производную порядка m, и получаем
.
Пренебрегая величиной , получим формулу для приближенного вычисления производной:
. (1.43)
Погрешность этой формулы равна .
Отметим, что численное дифференцирование – операция менее точная, чем интерполирование.
Интерполяционный многочлен может быть построен по любой из рассмотренных ранее формул. Рассмотрим подробнее случай равноотстоящих узлов. Пусть . Предположим для определенности, что точка х, в которой требуется вычислить производную, лежит в начале таблицы. Воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона
, (1.44)
где .
Дифференцируем (1.44) по переменной х. Отметим, что
.
После дифференцирования получаем
. (1.45)
Аналогично находим
(1.46)
Таким же способом в случае надобности можно вычислить и производные функции f(x),более высокого порядка. Если точка х лежит в середине или в конце таблицы, формулы для вычисления производных получим из интерполяционной формулы Гаусса или второй интерполяционной формулы Ньютона соответственно. Формулы численного дифференцировния упрощаются, если требуется вычислить производные в узлах интерполяции. Пусть х=х0. Тогда q=0. Формулы (1.45) и(1.46) запишутся в виде
;
.
Погрешность в вычислении первой производной в точке х0 равна
.
Аналогично может быть найдена погрешность для второй производной.
Глава 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
2.1. Общие замечания
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона – Лейбница
,
где F(x) – первообразная функция f(x).
На практике, как уже указывалось во введении, часто встречаются функции, для которых первообразная не выражается через элементарные функции, а также функции, заданные таблично. вСе это приводит к необходимости применения численных методов. Для получения формул приближенного вычисления интеграла подынтегральную функцию на отрезке [a,b] заменяют интерполирующей функцией (чаще всего интерполяционным многочленом)
.
Тогда
=
+
.
Отбрасывая второе слагаемое полученного соотношения, приближенно полагаем
. (2.1)
Погрешность равенства (2.1) равна , где
- погрешность интерполирования.
Интерполяционный многочлен может быть записан в различных видах в зависимости от применяемой интерполяционной формулы и степени m. После подстановки
в (2.1) получаем различные формулы для приближенного вычисления определенного интеграла, которые называются квадратурными формулами.
2.2. Формула трапеций
Заменим подынтегральную функцию интерполяционным многочленом первой степени, построенным по двум узлам интерполяции и
. Значения подынтегральной функции в узлах интерполяции равны соответственно
и
.
Подставляем в (2.1):
.
Итак,
. (2.2)
Получена формула трапеций. Геометрический смысл формулы (2.2) отображен на рис. 2.1.
|
|
0 a b x
Рис. 2.1
Левая часть формулы – площадь криволинейной трапеции, правая часть – площадь трапеции аАВb.
Оценим погрешность формулы трапеций. Предположим, что f’’(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Имеем
=
, (2.3)
где .
К полученному интегралу применим обобщенную теорему о среднем, которая формулируется следующим образом.
Пусть функция непрерывна, а функция q(x) интегрируема на отрезке [a,b]. Пусть, кроме этого,
(или
) для
. Тогда найдется точка
, такая, что
.
Подынтегральная функция интеграла (2.3) представляет собой произведение двух функций: одна функция непрерывна, а
на отрезке
. После применения обобщенной теоремы о среднем получаем
, (2.4)
где .
Погрешность R пропорциональна (b-a)3, поэтому, если длина отрезка большая, погрешность формулы трапеции также большая. Для увеличения точности формулы трапеций разделим отрезок
на n равных частей длины
.
Точки деления ,
, …,
.
Применим формулу трапеций (2.2) к каждому отрезку :
. (2.5)
Погрешность этой формулы равна
,
где .
Сумма интегралов (2.5) по всем отрезкам дает общую квадратурную формулу трапеции
. (2.6)
Погрешность этой формулы
.
Величина есть среднее арифметическое, составленное из n значений второй производной; оно лежит где-то между этими значениями. Вторую производную мы предполагали непрерывной на отрезке [a,b], поэтому она принимает все промежуточные значения. Отсюда вытекает, что на отрезке [a,b] найдется такая точка
, что
и
(2.7)
Формула трапеций является точной, если подынтегральная функция – многочлен степени, не выше первой.
2.3. Формула Симпсона
Заменим подынтегральную функцию интерполяционным многочленом второй степени, построенным по трем узлам интерполяции:
,
,
;
.
Интерполяционный многочлен запишем при помощи первой интерполяционной формулы Ньютона
,
где
;
;
=
= . (2.8)
Полученная формула называется формулой парабол, или формулой Симпсона (Т. Симпсон (1710 – 1761) – английский математик).
Эта формула является точной для любого многочлена второй степени (погрешность интерполирования в этом случае равна нулю). Кроме того, формула Симпсона является точной для (левая и правая части формулы (2.8) обращаются в этом случае в нуль). Отсюда вытекает, что формула Симпсона является точной для любого многочлена третьей степени. Погрешность формулы Симпсона для произвольной подынтегральной функции записывается в следующем виде:
. (2.9)
Предполагается, что непрерывна на [a,b]. Для увеличения точности формулы Симпсона (2.8) разделим отрезок [a,b] на n равных частей длины
, причем возьмем n четное, т.е. n=2m. Рассмотрим сдвоенный частичный отрезок
и применим к нему формулу Симпсона (2.8):
(2.10)
Погрешность этой формулы, согласно (2.9) равна
=
. (2.11)
Всего сдвоенных частичных отрезков .
Сумма интегралов (2.10) по всем сдвоенным отрезкам дает общую формулу Симпсона
. (2.12)
Погрешность этой формулы
=
.
В силу непрерывности на отрезке [a,b] на этом отрезке существует такая точка
, что
=
.
Следовательно, имеем
(2.13)
2.4. Оценка погрешности квадратурных формул
Если подынтегральная функция f(x) задана аналитически и нахождение (для формулы трапеций) или
(для формулы Симпсона) не вызывает затруднений, погрешность квадратурной формулы вычисляется по формуле (2.7) или (2.13). но на практике найти и оценить, например, производную четвертого порядка трудно, особенно в тех случаях, когда функция f(x) задана таблично. Поэтому часто прибегают к следующему приему грубой оценки погрешности, предложенному Рунге. Погрешность формулы трапеций может быть записана в виде
Обозначим
;
.
Тогда ;
.
Объединяя эти результаты, можно записать, что погрешность квадратурной формулы
,
где k, N – постоянные;
h – длина частичного отрезка при разбиении отрезка [a,b] на n равных частей.
Обозначим: I – точное значение интеграла, Ih – приближенное его значение, вычисленное по квадратурной формуле с шагом h.
Тогда
. (2.14)
Вычислим этот же интеграл по квадратурной формуле с шагом 2h:
. (2.15)
Отметим, что вычисление затруднений не вызывает, так как не требуется вычисления новых значений подынтегральной функции.
Приравниваем правые части равенств (2.14) и (2.15):
.
Отсюда
;
Итак, погрешность квадратурной формулы при вычислении интеграла с шагом h удовлетворяет неравенству
.
Для формулы трапеций к=2, отсюда
. (2.16)
Для формулы Симпсона к=4, отсюда
. (2.17)
Пример. Вычислить приближенно интеграл по формуле трапеций и по формуле Симпсона при n=8. Оценить погрешность. Вычисления оформить в виде табл. 2.1.
Таблица 2.1
![]() | ![]() | ![]() | Формула трапеций | Формула Симпсона | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 | 1.000244 1.003906 1.019775 1.062500 1.152588 1.316406 1.586182 | |||||
![]() | 19.283202 | 9.765624 | 28.800780 | 14.406248 | ||
I | Ih=1.2052 | I2h=1.22 | Ih=1.2000 | I2h=1.200 |
Рассмотрим, как заполняются столбцы, соответствующие вычислению интеграла по формуле трапеций
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 385 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!