Глава 1. Интерполирование 4 страница

.

В нашем случае

А=0, b=1, n=8;

. (2.18)

В столбце с_к проставлены коэффициенты суммы (2.18). в строке записано значение . В строке I записан ответ I_h.

Для оценки погрешности вычисляем I_2h

.

Так как точки х₁, х₃, х₅, х₇ пропускаются, полагаем для них . Аналогично ведем вычисления по формуле Симпсона. Оценим погрешности:

;

.

Итак,

(по формуле трапеций);

(по формуле Симпсона).

Отметим, что точное значение интеграла равно 1.2.

Глава 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Вводные замечания

Пусть задано уравнение f(x)=0, где функция f(x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале. Требуется вычислить с заданной точностью действительные корни уравнения. Приближенное вычисление действительных корней уравнений производится в два этапа.

1. Отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых интервалов, каждый из которых содержит один и только один корень уравнения.

2. Вычисление корней с заданной точностью.

3.2. Отделение корней

Для отделения корней можно использовать следующую теорему.

Теорема. Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], т.е. f(a)f(b)<0, то внутри этого отрезка находится по крайней мере один корень уравнения f(x)=0. Если производная сохраняет знак на отрезке [a,b], то корень будет единственный.

Процесс отделения корней происходит так. Определяем знаки функции f(x) в ряде точек из области определения функции х₁, х₂, х₃,…, выбор которых учитывает особенности функции f(x). Если окажется, что , то в силу сформулированной выше теоремы на отрезке имеется по крайней мере один корень уравнения f(x)=0. Необходимо тем или иным способом проверить, является ли этот корень единственным.

Пример 1. Отделить действительные корни уравнения:

;

;

X	-1
f(x)	-	-	-	-	+

На концах отрезка [2, 3] функция f(x) имеет разные знаки. при всех х. Следовательно, на отрезке [2, 3] находится единственный действительный кореньзаданного уравнения.

Пример 2.

;

;

x	-3	-2	-1
f(x)	-	-	+	+	-	-	+

Найдены три отрезка, содержащие корни уравнения: [-2; -1], [0; 1], [2; 3]. Так как алгебраическое уравнение третьей степени имеет три корня, каждый из отрезков содержит один корень уравнения.

Для отделения корней можно использовать графические методы. Действительные корни уравнения f(x)=0 представляют собой абсциссы точек пересечения графика функции y=f(x) с осью 0х. Строим график функции y=f(x) и определяем интервалы, содержащие точки пересечения графика с осью 0х. Иногда удобно представить уравнение f(x)=0 в виде , построить графики функции и и по графику определить интервалы, в которые попадают точки пересечения построенных графиков.

3.3. Метод половинного деления

Пусть дано уравнение f(x)=0 и пусть найден отрезок [a₀, b₀], на котором находится единственный корень уравнения. Обозначим корень уравнения через . Для нахождения корня уравнения делим отрезок [a₀, b₀] пополам.

Если , то , и задача решена. Если , выбираем ту из половин отрезка [a₀, b₀], на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [a₁, b₁] снова делим пополам и повторяем те же действия и т.д. (рис.3.1.). В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения, или же последовательность вложенных друг в друга отрезков

[a₀, b₀], [a₁, b₁], [a₂, b₂], …, [a_n, b_n],

таких, что

; (3.1)

; (3.2)

y

0 а₁ b₁

а₀ а₂ b₂ b₀ x

Рис.3.1.

Рассмотрим последовательность а₀, а₁, а₂, а₃,…. Эта последовательность имеет предел, так как она монотонно неубывающая, ограниченная (все ). Последовательность b₀, b₁, b₂, b₃,… также имеет предел, так как она монотонно невозрастающая, ограниченная (все ).

Перейдем к пределу при в равенстве (3.2):

.

Таким образом,

.

Обозначим общий предел этихх последовательностей через с. перейдем к пределу при в неравенстве (3.1):

.

Отсюда , т.е. с – корень уравнения f(x)=0. Таким образом,

.

Если необходимо вычислить корень уравнения с точностью до , деление отрезка [a,b] производим до тех пор, пока . За приближенное значение корня берем среднюю точку отрезка

.

При этом

.

метод половинного деления практически неудобен для вычисления корня с большой точностью ручным способом, так как требует большого объема вычислительной работы. Но он легко реализуется на ЭВМ.

Пример. Вычислить с точностью до действительный корень уравнения .

Обозначим .

Вычисляем f(1)=3 и f(2)=6. Следовательно, на отрезке [1, 2] находится корень заданного уравнения, причем единственный, так как >0 при всех х.

Обозначим а₀=1, b₀=2. Применим метод половинного деления. Деление производим до тех пор, пока (таблю3.1).

Отметим, что можно вычислить грубо, так как требуется только знак этого значения.

Таблица 3.1

	1.25 1.375 1.4375	1.5 1.5 1.5 1.5	0.5 0.25 0.125 0.0625	1.5 1.25 1.375 1.4375 1.46875	0.37 -1.58 -0.65 -0.15

Ответ: .

3.4. Метод хорд

Дано уравнение f(x)=0. Пусть найден отрезок такой, что на концах его функция имеет разные знаки, т.е. . Пусть, кроме этого производные и на отрезке сохраняют знак. Положим для определенности , , , при . За приближенное значение корня принимаем точку пересечения с осью 0х хорды, проходящей через точки , (рис.3.2).

у

B₀

а₀ а₁ а₂ b₀

y=f(x)

0 х

А₀ А₁

Рис. 3.2

Составим уравнение хорды:

.

Найдем точку пересечения с осью 0х, положив у=0. Обозначим абсциссу точки пересечения хорды с осью 0х через а₁:

.

Принимая а₁ за конец нового отрезка [a₁,b₀], можно снова провести хорду и получить второе приближение корня а₂:

и т. д.

(n=0,1,2,…).

Докажем сходимость этого процесса. Рассмотрим последовательность а₀, а₁, а₂, ….Это – монотонно возрастающая ограниченная последовательность

а₀<a₁<a₂<…<a_n<…<b₀

имеющая предел. Пусть . Переходим к пределу при в равенстве (3.3):

.

Отсюда f(c)=0, т.е. с – корень уравнения. Так как на отрезке [a₀,b₀] корень единственный, получаем .

Таким образом, последовательность а₀,а₁, а₂,… сходится и в пределе дает корень уравнения .

Аналогично показывается сходимость для остальных случаев.

3.5. Метод Ньютона (метод касательных)

Дано уравнение f(x)=0. Пусть найден отрезок , такой, что на концах его функция f(x) имеет разные знаки, т.е. . Пусть, кроме того, производные и на отрезке сохраняют знак. Пусть для определенности , , , при .

В точке проведем касательную к кривой y=f(x) (рис. 3.3).

У В₀

0 а₀ b₂ b₀ B₁

x

A₀

Рис. 3.3

Точку пересечения касательной с осью 0х принимаем за приближенное значение корня уравнения. Запишем уравнение касательной

.

Точку пересечения касательной с осью 0х обозначим через b₁. Имеем

.

Принимая за конец нового отрезка можно повторить предыдущий шаг и найти :

и т.д.

. (3.4)

Докажем сходимость этого процесса. Рассмотрим последовательность

b₀, b₁, b₂, …, b_n, ….

Докажем, что все . Используем метод математической индукции. Прежде всего .

Пусть . Докажем,что .

Положим

Применяя формулу Тейлора, получаем

.

где .

Так как и , получаем

.

Отсюда

, т.е. .

Доказано, что все и следовательно, . Из формулы (3.4) вытекает, что . Итак, последовательность b₀, b₁, b₂, … монотонно убывающая, ограниченная.

Существует . Покажем, что с – это и есть корень уравнения . Действительно, переходя к пределу при в равенстве (3.4), получаем

.

Отсюда , т.е. .

Отметим, что если провести касательную к кривой y=f(x) в точке (рис. 3.3), получим точку , лежащую вне отрезка . Поэтому, применяя метод касательных,следует руководствоваться следующим правилом: касательная проводится на том же конце отрезка, где знаки функции и второй производной совпадают.

3.6. Комбинированный метод

Метод хорд и метод касательных дают приближение к корню с какого-либо одного конца отрезка; второй конец отрезка остается неподвижным. На практике удобнее использовать комбинированный метод, заключающийся в поочередном применении метода хорд и метода касательных.

Возьмем для определенности , , , при . Определим а₁ по методу хорд и по методу касательных. Затем находим , применяя метод хорд на отрезке , и т.д. (рис. 3.4).

Комбинированный метод дает более быструю сходимость, чем метод хорд или метод касательных в отдельности. Кроме того, при применении комбинированного метода легко оценить погрешность результата, так как и находятся по разные стороны от корня. Отсюда, в частности, следует, что цифры, совпадающие у и , принадлежат точному корню .

у

0 а₀ а₁ а₂

x

b₂ b₁ b₀

Рис. 3.4

Четыре возможные комбинации знаков производных и определяют четыре типа расположения кривой y=f(x). условимся через b₀ обозначать тот конец отрезка, на котором знак функции f(x) и ее второй производной совпадают (рис. 3.5).

Расчетные формулы комбинированного метода имеют вид:

где n=0, 1, 2,….

Если корень уравнения требуется вычислить с точностью до , процесс вычисления корня можно прекращать в тот момент, когда . в ответа возьмем среднее арифметическое полученных значений а_n и b_n, т.е.

.

y y

0 a₀ b₀ x 0 b₀ a₀ x

y y

0 b₀ a₀ x 0 a₀ b₀ x

Рис. 3.5

Пример. Вычислить с точностью до действительный корень уравнения . вычисления в виде табл.3.2.

3.7. Метод итерации (метод последовательных приближений)