Пересечение двух плоскостей

Построение точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью сводится к построе­нию второй проекции точки на эпюре, так как одна проекция точки всегда лежит на следе проецирующей плоскости, потому что все, что находится в проецирующей плоскости, проецируется на один из следов плоскости. На рис. 224, а показано построение точки пересе­чения прямой EF с фронтально-проецирующей плоскостью треугольника ABC (перпендику­лярной плоскости V) На плоскость V тре­угольник ABC проецируется в отрезок а'с' пря­мой линии, и точка к' будет также лежать на этой прямой и находиться в точке пересечения e'f с а'с'. Горизонтальную проекцию строят с помощью линии проекционной связи. Види­мость прямой относительно плоскости тре­угольника АВС определяют по взаимному рас­положению проекций треугольника ABC и пря­мой EF на плоскости V. Направление взгляда на рис. 224, а указано стрелкой. Тот участок прямой, фронтальная проекция которого нахо­дится выше проекции треугольника, будет ви­димым. Левее точки к' проекция прямой нахо­дится над проекцией треугольника, следова­тельно, на плоскости Н этот участок види­мый.

На рис. 224, б прямая EF пересекает гори­зонтальную плоскость Р. Фронтальная проек­ция к' точки К — точки пересечения прямой EF с плоскостью Р — будет находиться в точке пересечения проекции е' f 'со следом плоскости P_v, так как горизонтальная плоскость является фронтально-проецирующей плоскостью. Гори­зонтальную проекцию k точки К находят с по­мощью линии проекционной связи.

Построение линии пересечения двух пло­скостей сводится к нахождению двух точек, общих для этих двух плоскостей. Для построе­ния линии пересечения этого достаточно, так как линия пересечения — прямая, а прямая задается двумя точками. При пересечении проецирующей плоскости с плоскостью общего положения одна из проекций линии пересече­ния совпадает со следом плоскости, находя­щимся в той плоскости проекций, к которой перпендикулярна проецирующая плоскость. На рис. 225, а фронтальная проекция т'п' линии пересечения MN совпадает со следом P_v фрон­тально-проецирующей плоскости Р, а на рис. 225, б горизонтальная проекция kl совпа­дает со следом горизонтально-проецирующей плоскости R. Другие проекции линии пересе­чения строятся с помощью линий проекцион­ной связи.

Построение точки пересечения прямой с пло­скостью общего положения (рис. 226, а) вы­полняют с помощью вспомогательной проеци­рующей плоскости R, которую проводят через данную прямую EF. Строят линию пересечения 12 вспомогательной плоскости R. с заданной плоскостью треугольника ABC, получают в плоскости R две прямые: EF — заданная пря­мая и 12 — построенная линия пересечения, которые пересекаются в точке K.

Нахождение проекций точки К показано на рис. 226, б. Построения выполняют в следую­щей последовательности.

Через прямую EF проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость R. Ее след Rн совпадает с горизонтальной проекцией ef прямой EF.

Строят фронтальную проекцию 1׳2' линии пересечения 12 плоскости R с заданной пло­скостью треугольника ABC с помощью линий проекционной связи, так как горизонтальная проекция линии пересечения известна. Она совпадает с горизонтальным следом R_H пло­скости R.

Определяют фронтальную проекцию к' иско­мой точки К, которая находится в пересечении фронтальной проекции данной прямой с проек­цией 1'2' линии пересечения. Горизонтальная проекция точки строится с помощью линии проекционной связи.

Видимость прямой относительно плоскости треугольника ABC определяется способом кон­курирующих точек. Для определения види­мости прямой на фронтальной плоскости про­екций (рис. 226, б) сравним координаты Y точек 3 и 4, фронтальные проекции которых совпадают. Координата Y точки 3, лежащей на прямой ВС, меньше координаты Y точки 4, лежащей на прямой EF. Следовательно, точка 4 находится ближе к наблюдателю (направле­ние взгляда указано стрелкой) и проекция прямой изображается на плоскости V видимой. Прямая проходит перед треугольником. Левее точки К׳ прямая закрыта плоскостью треугольника ABC. Видимость на горизонтальной плоскости проекций показывают, сравнив координаты Z точек 1 и 5. Так как Z₁ > Z₅, точка 1 видимая. Следова­тельно, правее точки 1 (до точки К) прямая EF невидимая.

Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения применяют вспо­могательные секущие плоскости. Это показано на рис. 227, а. Одна плоскость задана тре­угольником ABC, другая — параллельными прямыми EF и MN. Заданные плоскости (рис. 227, а) пересекают третьей вспомогатель­ной плоскостью. Для простоты построений в качестве вспомогательных плоскостей берут горизонтальные или фронтальные плоскости. В данном случае вспомогательная плоскость R является горизонтальной плоскостью. Она пе­ресекает заданные плоскости по прямым лини­ям 12 и 34, которые в пересечении дают точ­ку К, принадлежащую всем трем плоскостям, а следовательно, и двум заданным, т. е. лежа­щую на линии пересечения заданных плоскос­тей. Вторую точку находят с помощью второй вспомогательной плоскости Q. Найденные две точки К и L определяют линию пересечения двух плоскостей.

На рис. 227, б вспомогательная плоскость R задана фронтальным следом. Фронтальные проекции линий пересечения 1'2' и 3'4' пло­скости R с заданными плоскостями совпадают с фронтальным следом R_v плоскости R, так как плоскость R перпендикулярна плоскости V, и все, что в ней находится (в том числе и ли­нии пересечения) проецируется на ее фрон­тальный след R_v. Горизонтальные проекции этих линий построены с помощью линий про­екционной связи, проведенных от фронтальных проекций точек 1', 2', 3', 4' до пересечения с горизонтальными проекциями соответствую­щих прямых в точках 1, 2, 3, 4. Построенные горизонтальные проекции линий пересечения продлевают до пересечения друг с другом в точке k, которая является горизонтальной проекцией точки K, принадлежащей линии пе­ресечения двух плоскостей. Фронтальная проек­ция этой точки находится на следе R_v.

Для построения второй точки, принадлежа­щей линии пересечения, проводят вторую вспо­могательную плоскость Q. Для удобства по­строений плоскость Q проведена через точку С параллельно плоскости R. Тогда для построе­ния горизонтальных проекций линий пересече­ния плоскости Q с плоскостью треугольника AВС и с плоскостью, заданной параллельными прямыми, достаточно найти две точки: с и 5 и провести через них прямые, параллельные ранее построенным проекциям линий пересече­ния 12 и 34, так как плоскость Q || R. Продол­жив эти прямые до пересечения друг с другом, получают горизонтальную проекцию l точки L, принадлежащей линии пересечения заданных плоскостей. Фронтальная проекция l ' точки L лежит на следе Q_v и строится с помощью ли­нии проекционной связи. Соединив одноимен­ные проекции точек К и L, получают проекции искомой линии пересечения.

Если в одной из пересекающихся плоскостей взять прямую и построить точку пересечения этой прямой с другой плоскостью, то эта точка будет принадлежать линии пересечения этих плоскостей, так как она принадлежи обеим заданным плоскостям. Построй таким что же об разом вторую точку, можно найти линию пере­сечении двух плоскостей, так как для построе­ния прямой достаточно двух точек. На рис. 228 показано такое построение линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками.

Для данного построения берут одну из сто­рон треугольника и строят точку пересечения той стороны с плоскостью другого треуголь­ника. Сели это не удается, берут другую сто­рону этого же треугольника, затем третью.

Если и это не привело к нахождению искомой точки, строят точки пересечения сторон второго треугольника с первым.

На рис. 228 построена точка пересечения прямой EF с плоскостью треугольника ABC. Для этого через прямую EF проводят вспомо­гательную горизонтально-проецирующую плос­кость S и строят фронтальную проекцию 1׳2' линии пересечения этой плоскости с плоско­стью треугольника ABC. Фронтальная проекция 1׳2' линии-пересечения, пересекаясь с фрон­тальной проекцией с'f' прямой EF дает фрон­тальную проекцию т' точки пересечения М.

Горизонтальную проекцию т точки М нахо­дят с помощью линии проекционной связи. Вторая точка, принадлежащая линии пересече­ния плоскостей заданных треугольников, точка N - точка пересечения прямой ВС с плоскостью треугольника DEF. Через прямую BС проводят фронтально-проецирующую плос­кость R, и на плоскости H пересечение гори­зонтальных проекций прямой ВС и линии пере­сечения 34 дает точку n горизонтальную проекцию искомой точки. Фронтальная проек­ция построена с помощью линии проекционной связи. Видимые участки заданных треугольни­ков определяют с помощью конкурирующих точек для каждой плоскости проекций отдель­но. Для этого выбирают точку на одной из плоскостей проекций, которая является проек­цией двух конкурирующих точек. По вторым проекциям этих точек определяют видимость, сравнивая их координаты.

Например, точки 5 и - точки пересечения горизонтальных проекций bс и de. На фрон­тальной плоскости проекций проекции этих точек не совпадают. Сравнив их координа­ты Z, выясняют, что точка 5 закрывает точку 6, так как координата /_г, больше координаты Z₅. Следовательно, левее точки 5 сторона DE не­видимая.

Видимость на фронтальной плоскости проек­ций определяют с помощью конкурирующих точек 4 и 7, принадлежащих отрезкам DE и ВС, сравнивая их координаты Y₄ и Y₇. Так как Y₄ > Y₇ сторона DE на плоскости V видимая.

Следует отметить, что при построении точки пересечения прямой с плоскостью треугольни­ка точка пересечения может оказаться за пре­делами плоскости треугольника. В этом слу­чае, соединив полученные точки, принадлежа­щие линии пересечения, обводят только тот ее участок, который принадлежит обоим тре­угольникам.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Какие координаты точки определяют ее положение в плоскости V?

2. Что определяют координата Y и координата Z точки?

3. Как располагаются на эпюре проекции отрезка, -перпендикулярного плоскости проекций H? Перпендику­лярного плоскости проекций V?

4. Как располагаются па эпюре проекции горизонтали, фронтали?

5. Сформулируйте основное положение о принадлеж­ности точки прямой.

6. Как отличить на эпюре пересекающиеся прямые от скрещивающихся?

7. Какие точки называют конкурирующими?

8. Как определи п., какая из двух точек видимая, если их проекции на фронтальной плоскости проекций совпали?

9. Сформулируйте основное положение о параллель­ности прямой и плоскости.

10. Какой порядок построения точки пересечения пря­мой с плоскостью общего положения?