Метод половинного деления. Пусть дано уравнение f(x)=0, где функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]

Пусть дано уравнение f(x)=0, где функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Отрезок [a, b] содержит изолированный корень, тогда f(a)*f(b)<0. Для нахождения корня уравнения, принадлежащего отрезку [a, b], делим отрезок пополам.

c= (1.3)

Если f(c)=0, то ξ=(a+ b)/2 является корнем уравнения.

Если f(c)≠0, то выбираем ту из половинок [a, c] или [c, b], на концах которой функция имеет противоположные знаки, т. е. f(a)*f(c)<0 (f(c)*f(b)<0).

Выбранную половину вновь делим пополам, повторяя те же рассуждения, и т. д. Процесс дробления отрезка прекращаем при условии │a_n-b_n│≤ε, где ε- заданная погрешность, тогда приближенное значение корня определяется по формуле:

x₀= (1.4)

В результате получаем последовательность вложенных друг в друга отрезков [a, b], [a₁, b₁], [a₂, b₂],…,[a_n, b_n]… таких, что

f(a_n)*f(b_n)≤0 (n=1, 2,…) (1.5)

где b_n-a_n= . (1.6)

Так как левые концы a, a₁, a₂,…a_n образуют монотонно возрастающую последовательность, а правые b, b₁, b₂,…b_n – монотонно убывающую, то,в силу равенства (1.6), получим предел

ξ= (1.7)

Тогда неравенство (1.5) будет иметь вид f(ξ)²≤0, т. е. f(ξ)=0, следовательно, ξ является корнем уравнения.

Геометрическая интерпретация метода показана на рисунке 5.

y

f(b)

a с ξ b x

f(a) f(c)

Рис. 5