Арктангенс

Пусть функция f определена на интервале равенством . Функция f строго возрастает на и отображает этот интервал взаимно одно- значно на всю числовую ось; значит, существует обратная функция , определенная на (–¥; +¥). Ее называют арктангенсом и обозначают символом arctg. Укажем ее основные свойства.

1) Множеством определения арктангенса является (–¥; +¥), множество его значений есть .

2) при всяком t Î (–¥; +¥);

при всяком .

3) Арктангенс – функция, непрерывная на R и строго возрастающая от до

4) График функции симметричен с графиком функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис.19.).

Рис. 19.

Эти утверждения следуют из свойств тангенса, свойств пары взаимно обратных функций и теоремы 1, п. 5.5.

5) Арктангенс – нечетная функция.

Возьмем произвольное x Î R и обозначим:

, . По свойству 2 имеем: , т.е. ; , т.е. . Значит, . Отсюда, так как тангенс - нечётная функция, . Учитывая, что и лежат на , получаем: , т.е. .

9 °. Арккотангенс.

Пусть на интервале (0; p) . Эта функция строго убывает на (0; p) и отображает этот интервал взаимно однозначно на (–¥; +¥); значит, существует обрат- ная функция , которую называют арккотангенсом и обозначают символом arcctg. Укажем ее основные свойства.

1) Множеством определения арккотангенса является (–¥; +¥), множесттво его значений есть (0; p).

2) при всяком t Î (–¥; +¥);

при всяком a Î (0; p).

3) Арккотангенс – функция, непре- рывная на (–¥; +¥) и строго убыва- ющая от p до 0. 4) График симметри- чен с графиком функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (Рис.20)

Эти утверждения обосновываются так же, как соответствующие свойства арктангенса..

Рис. 20.

5) При всяком x Î R справедливо .

Выберем произвольно x Î R. Имеем: - ctg(arcctg x)=. – x. Отсюда следует: , и равенство 5) доказано.

Арккотангенс не является ни четной, ни нечетной функцией. Четной функцией arcctg х быть не может, так как убывает на всем интервале (–¥; +¥); нечетной эта функция не является, так как принимает только неотрицательные значения

В приложениях математики наиболее употребительны элементарные функции. Функцию называют элементарной, если ее можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного количества арифметических операций и суперпозиций.

п.5.7. Точки разрыва функции и их классификация

Пусть функция f определена в некоторой проколотой окрестности , .

Определение 1. Точку называют точкой разрыва функции f, если не яв- ляется точкой непрерывности этой функции.

Таким образом, точка разрыва – понятие, противоположное точке непрерывно- сти функции. Точка является точкой разрыва функции f, заданной в , если выполнено хотя бы одно из следующих трех условий:

1) f не определена в точке ;

2) не существует ;

3) f определена в точке , существует, но .

Пример 1. Пусть . Этим равенством f определена для всех x Î R, за исключением . Значит, есть точка разрыва функции f.

Заметим, что существует. Действительно, при справедливы неравенства (см. п. 4.1): . Отсюда для тех же x: . Умножив все части этих неравенств на sin x, получим: на Так как и – четные функции, эти неравенства справедливы и на. . Итак, в проколотой окрестности справедливо . Заметим: . Отсюда и из теоремы о “сжатой”функции (п. 4.5.) следует: .

Пример 2. Пусть f (x) = [ x ]. Этим равенством f определена при всех x Î R. В частности, f (0) = 0. Но не существует (см.п. 4.1.). Значит, есть точка разрыва функции f. Вообще, всякая целочисленная точка является точкой разрыва этой функции.

Определение 2. Пусть есть точка разрыва функции f. Будем говорить, что является для f точкой разрыва первого рода, если существуют конечные одно- сторонние пределы и .

Пусть -точка разрыва первого рода функции f. Разность называют скачком функции f в точке . Если скачок в равен нулю, точку назы- вают точкой устранимого разрыва функции. f. В этом случае , поэтому существует ,и если доопределить функцию в точке , положив , то станет точкой непрерывности функции f.

Определение 3. Пусть есть точка разрыва функции f. Будем говорить, что является для f точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односто- ронних пределов и не существует (в частности, равен ¥).

Пример 3. Для функции имеем (см. пример 1): . Отсюда: . Значит, является для f точкой устранимого разрыва.

Пример 4. Для функции имеем (см. пример 2 §2 гл.4): ; . Значит, является для f точкой разрыва первого рода; скачок функции в этой точке равен 1.

Пример 5. Функция определена этим равенством для всех x ¹ 0. Значит, – точка разрыва этой функции. Так как , являет- ся для f точкой разрыва второго рода.