Непрерывность функции на промежутке

Пусть á a; b ñ, a < b, - некоторый промежуток, ограниченный или неограничен- ный (т.е. для a допускается значение –¥, а для b – значение +¥).

Определение 1. Будем говорить, что функция непрерывна на интервале (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение 2. Будем говорить, что функция непрерывна на сегменте [ a;b ], если она непрерывна на интервале (а; b) и, кроме того, непрерывна в точке а справа и непрерывна в точке b слева.

Нетрудно сформулировать определения функции, непрерывной на полуоткры- том промежутке (a;b ]или[ a;b).

Функции cos x, sin x, алгебраический многочлен непрерывны в каждой точке x Î R; значит, они непрерывны на (–¥; +¥). Очевидно, что эти функции неп- рерывны вообще на любом промежутке á a; b ñ, a < b. Функция определена на [0; +¥), непрерывна в каждой точке x > 0 и непрерывна в точке 0 справа (см. п. 5.1., примеры 2 и 4); значит, эта функция непрерывна на [0; + ¥).

Введем термины и обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Пусть функция f определена на множестве Х, а E(f) есть множество ее зна- чений. Функцию f назовем ограниченной на множестве Х, если E(f) - ограничен- ное множество. Точные грани множества E(f), m = inf E (f) и M = = sup E(f) будем называть соответственно точной нижней и точной верхней гранями функции f на множестве Х. Если существует такое,что , то будем говорить, что функция f достигает на множестве Х своей точной нижней (своей точной верхней) грани. Как свидетельствует приведенный ниже пример, точные грани функции могут принадлежать, но могут и не принадлежать множеству E (f) ее значений.

Рис.10.

Пример 1. Пусть . Функция f определена этим равенством на всей числовой оси, ее график изображен на рис.10. При всяком x R f (x) > 0; с другой стороны, очевидно, что любое значение этой функции не превышает единицы, причем f (0) = 1. Множество E (f) значений функции представляет собой промежуток (0; 1] (рис. 10), точные грани функции есть m = 0 и M = 1.Точная нижняя грань не является значе- нием функции, ибо на числовой оси нет точки , в которой равнялось бы нулю. Точ-ная верхняя грань M принадлежит E (f). Следовательно, на множестве R эта функция достигает своей точной верхней грани и не достигает своей точной нижней грани.

Следующие теоремы посвящены свойствам функции, непрерывной на сегменте

Теорема 1. (Первая теорема Вейерштрасса) Если функция f непрерывна на сегменте [ a; b ], то она ограничена на нём.

Замечание 1. Если функция f непрерывна не на сегменте, а на промежутке кА- кого-либо другого типа, она может оказаться неограниченной на нем. Например, функ- ция непрерывна на (0; 1), но не ограничена на этом интервале, ибо .

Теорема 2. (Вторая теорема Вейерштрасса) Функция f, непрерывная на сег- менте [ a; b ], достигает на этом сегменте своих точных граней, т.е. на сегменте сущест- вуют точки и такие, что , .

Доказательства этих теорем Вейерштрасса можно найти в [1].

Определение 3. Точку называют нулём функции f, если функция опреде- лена в этой точке, причём .

Теорема 3. (О существовании нуля непрерывной функции) Пусть функция f непрерывна на сегменте [ a; b ], a < b, а на его концах принимает отличные от нуля зна- чения противоположных знаков, т.е. f (a) × f (b) < 0. Тогда на интервале (a; b) сущест- вует хотя бы одна точка x такая, что f (x) = 0.

Поделим сегмент [ a; b ] пополам точкой (рис.11). Могут пред- ставиться две возможности: 1) ; 2) . В первом случае точка x существовует: . Если же , то обозначим через тот из сегмен- тов и , на концах которого f принимает значения противоположных знаков. Поделим пополам точкой . Снова возможны два случая:

Р ис.11.

1) ; 2) . В первом случае ; во втором случае обозначим через ту из половин сегмента , на концах которой f принимает значе- ния противоположных знаков, делим сегмент пополам и повторяем приведен- ные выше рассуждения.

Описанный процесс последовательного деления сегментов пополам может завершиться тем, что на некотором n -м шаге середина сегмента удов- летворит условию , и в этом случае утверждение теоремы справедливо: . Другая возможность заключается в том, что ни при каком натуральном n условие не выполняется. Тогда описанный процесс приводит к постро- ению бесконечной последовательности сегментов такой, что:

1) при всех n Î N, и 2) при n ® ¥.

По теореме о вложенных сегментах (п.3.6.,теорема 2) существует точка x, принадлежащая всем сегментам , n = 1, 2, ¼. Покажем, что f (x) = 0.

Действительно, предположим, что f (x) ¹ 0; пусть для определенности f (x) > 0. Тогда по теореме о стабилизации знака непрерывной функции (п.5.1., теорема 2) существует d > 0 такое, что f (x) > 0 на интервале (x – d; x + d). Так как , а x принадлежит всем сегментам , при достаточно больших n Î N будет вы- полнено и, следовательно, при таких n и положи- тельны, а это невозможно, ибо на каждом шаге сегмент выбирается так, что- бы на его концах f принимала значения противоположных знаков. Значит, f (x) = 0.

Итак, в любом случае на (a; b) лежит хотя бы один нуль функции f.

Теорема 4. (Теорема Коши о промежуточном значении) Пусть функция f непрерывна на сегменте [ a; b ]. Обозначим: A = f (a), B = f (b). Если A ¹ B, то для всякого числа C, лежащего между A и B, на (a; b) найдется точка x такая, что f (x) = C.

Введем в рассмотрение функцию g, заданную на [ a; b ] равенством: g (x) = f (x) – C. Эта функция непрерывна на [ a; b ], а на его концах принимает значения противоположных знаков. По теореме 3 на (a; b) существует точка x такая, что g (x) = 0, т.е. f (x) = C.

Рис. 12.

Рис.12 иллюстрирует доказанную теорему.

Следствие. Если функция f непре рывна на некотором промежутке á a; b ñ, ограниченном или неограниченном, то множество E (f) ее значений представляет собой также промежуток.

Введем обозначения:

Справедливость доказываемого утверждения очевидна, если m = M: в таком случае f (x) º m на á a; b ñ, а E (f) состоит из одной точки m, т.е. E (f) = [ m; m ]. Пусть m < M. Покажем, что E (f) есть промежуток с концами в точках m и M. Для этого достаточно установить, что всякая точка интервала (m; M) принадлежит E (f).

Пусть y – произвольно выбранная точка интервала (m; M). Так как m < y, то y не является нижней гранью множества E (f) и потому в E (f) найдется число такое, что . Аналогично: так как y < M, в E (f) существует число такое, что . Пусть и – лежащие на á a; bñ точки, для которых , . Рассмотрим сегмент с концами и . Этот сегмент содержится в á a; b ñ, функция f непрерывна на нем, а на его концах принимает значения и , . Так как , то по теореме 4 на указанном сегменте найдется точка x, для которой f (x) = y. Значит, y Î E (f).

Мы показали, что всякая точка интервала (m; M) принадлежит E (f). С дру - гой стороны, очевидно, что в E(f) нет чисел, меньших, чем m, или больших, чем M. Следовательно, E (f) представляет собой интервал (m; M), дополненный, быть может, одной из его граничных точек m или M, либо обеими этими точками.

Замечание 2. Если функция f непрерывна на сегменте [ a; b ], то множество E (f) ее значений представляет собой сегмент [ m; M ].

Действительно, как показано выше, E (f) есть промежуток, концами которого являются точки m = inf E (f) и M = sup E (f). Но f достигает своих точных граней (теорема 2), т.е. m и M принадлежат E (f); значит, E (f) =[ m; M ].

Определение 3. Пусть функция f определена на множестве X Ì R. Функцию f называют равномерно непрерывной на X, если для всякого e >0 существует d > 0 такое, что для любых точек и , принадлежащих X и удовлетворяющих условию , справедливо .

Запишем условия этого определения, используя логические знаки:

"e > 0 $ d > 0 " , .

Упражнение. Доказать, что если функция f равномерно непрерывна на промежутке á a; b ñ, то она непрерывна на нем.

Утверждение обратное сформулированному выше, вообще говоря, неверно: функция, непрерывная на промежутке, может не обладать на нем свойством равно- мерной непрерывности.. Покажем это на конкретном примере.

Пример 2. Функция непрерывна на (0; +¥), ее график изобра- жен на рис.13. Выберем какое-нибудь ε>0, например, положим ε = 1 и покажем, что для любого δ >0 на (0;+∞) можно указать x΄ и x˝ такие, что | x΄ – x˝ | < δ, a | f (x΄) – f(x˝) | ≥ 1. Тем самым будет установлено: для ε =1 не существует такого δ>0, чтобы при всех x΄ и x˝, лежащих на (0;+∞) и удовлетворяющих условию

| x΄-x ˝| < δ, было выполнено | f(x΄) –- f (x˝) | < ε.

Пусть задано некоторое δ >0. Обозначим:

Рис. 13.

λ = min{1; ½δ}, x ΄ = , x”= .

Заметим: 0 < λ ≤ 1, λ ≤ ½δ < δ; x΄> 0, x˝ > 0. Имеем:| x΄ –x˝ | = < λ; значит, | x΄-x˝ | < δ, и при этом

| f (x΄) –f(x˝) | = | | = ≥ 1. Таким образом, каково бы ни было δ >0 на (0;+∞) существуют точки x΄ и x˝ такие, что | x΄ – x˝ | < δ, a | f (x΄) – f(x˝) | ≥ 1..

Итак, функция, непрерывная на промежутке, может не быть равномерно непре- рывной на нём. Вместе с тем, справедлива следующая теорема.

Теорема 5. (Теорема Кантора) Если функция f непрерывна на сегменте [ a; b ], то она и равномерно непрерывна на этом сегменте.

Доказательство имеется в учебниках [1] и [2].

5.4.. Монотонные функции

Пусть функция f определена на некотором множестве R.

Определение 1. Функцию f назовем неубывающей (невозрастающей) на множестве X, если для любых точек и , принадлежащих X и таких, что , справедливо .

Определение 2. Функцию f назовем строго возрастающей (строго убыва- ющей) на множестве X, если для любых точек и , принадлежащих X и таких, что , справедливо строгое неравенство .

Неубывающие, а также невозрастающие на множестве X функции называ- ют функциями, монотонными на множестве X. Те из монотонных функций, которые строго возрастают или строго убывают, называют строго монотонными. Следующие теоремы аналогичны признаку Вейерштрасса из п. 3.6.

Теорема 1. (Об односторонних пределах неубывающей функции) Пусть f - функция, неубывающая на интервале (a; b), ограниченном или неограниченном, а E (f) есть множество ее значений.Тогда:

1) если множество E (f) ограничено сверху, то существует , причем

;

2) если множество E (f) ограничено снизу, то существует , причем .

1) Обозначим: . Нужно показать, что ,т.е., что

R (b – δ < x < b

(cм. п. 4.3., определение 2). Пусть задано некоторое e > 0. Так как M – точная верхняя грань множества E (f), то число M – e не является его верхней гранью; поэто- му в E (f) существует хотя бы одно число, большее, чем M – e. Пусть - такое число: . Так как на (a,b) имеется точка , для которой (рис.14). Так как f - неубывающая функция, то при всех x, ,

Рис. 14.

справедливо следовательно, при указанных x справедливо:

М - e < f (x) £ M; значит, справедливо и .

Итак, для всякого e > 0 можно указать d >0 (например, ) такое, что при всех x, для которых b – d < x < b, выполняется , поэтому

.

Доказательство утверждения 2) проводится аналогично. ◄

Теорема 2. (О б односторонних пределах невозрастающей функции) Пусть f - функция, невозрастающая на интервале (a; b), ограниченном или неограниченном, а E (f) - множество ее значений. Тогда::

1) если множество E (f) ограничено сверху, то существует , причем

;

2) если множество E (f) ограничено снизу, то существует , причем

.

Доказательство теоремы вполне аналогично доказательству теоремы 1.

Упражнение. Доказать следующие утверждения:

1) Если множество E (f) значений неубывающей на функции f не ограничено сверху (снизу), то ().

2) Если множество E (f) значений невозрастающей на (a; b) функции f не ограничено сверху (снизу), то ().

Теорема 3. (О множестве значений строго монотонной функции)

Пусть функция f строго монотонна и непрерывна на интервале , , ограниченном или неограниченном. Тогда множество E (f) её значений на представляет собой также некоторый интервал.

Обозначим: , (если E (f) не ограничено снизу, то m = –¥, если E (f) не ограничено сверху, то M = +¥). В силу следствия теоремы Коши о промежуточном значении множество E (f) представляет собой промежуток, ограниченный точками m и M; поэтому, для доказательства теоремы 3 достаточно убедиться, что ни m, ни M не принадлежат E (f).

Покажем, что m не принадлежит E (f). Для определенности будем считать f строго возрастающей функцией (случай строго убывающей функции рассматривается аналогично). Допустим противное: m Î E (f). Тогда на должна существовать точ- ка такая, что . Так как , то а < x . Выберем какое –нибудь t, ле- жащее между a и : . Функция f строго возрастает, значит, , а это невозможно, ибо m есть нижняя грань множества значений функции. Зна- чит, m не может принадлежать E (f).

Аналогично можно доказать, что и M не принадлежит E (f).

5.5. Обратная функция

Пусть функция f определена на некотором множестве X R и строго моно- тонна на нем. Обозначим через Y множество значений f на X. Так как f строго мо- нотонна, то для любых и , , принадлежащих Х, . Значит, f есть взаимно однозначное отображение Х на Y; поэтому (см. п. 1.2.) существует ото- бражение : Y ® Х, обратное по отношению к отображению f: Х→Y. В этом пунк- те отображение будем называть обратной функцией; функция g = определена на множестве Y, её значение в точке y Î Y есть x Î Х такое, что y = f (x) (рис.15).

Рис. 15.

f является обратной функцией для ; f и образуют пару взаимно обратных функций.

Пример 1. Пусть a > 0, a ≠ 1. На множестве Х = (-∞;+∞) зададим показатель- ную функцию у = f (x) = a , а на множестве Y = (0;+∞) ее значений рассмотрим логарифмическую функцию х = g(y) = log _ay. Напомним определение из школьного учебника: логарифмом числа y по основанию a называют число x такое, что . Tаким образом, логарифмическая функция g сопоставляет каждому у Y число х Х такое, что y = f (x), т.е. логарифмическая функция g (у) = log _aу, у > 0, является обратной для показательная функции f (x) = a , x R; эти две функции образуют па- ру взаимно обратных функций.

Отметим некоторые свойства пары взаимно обратных функций f и f .

1) Множество значений каждой из этих функций есть облаcть определения для другой: ; .

2) Для всякого x Î D (f) . Для всякого y Î E (f) .

3) Графики функций y = f (x), x Î D (f) и , симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Утверждения 1) и 2) самым непосредственным образом следуют из определения обратной функции. Остановимся на обосновании утверждения 3).

► Отметим сначала, что две точки M (a; b) и N (b; a), где a и b – некоторые числа, симметричны относительно указанной выше биссектрисы. Пусть a D (f), а β = f (α). Тогда точка M (a; b) лежит на графике G функции f. Рассмотрим точку N (b; a). Имеем: b Î E (f) . Так как β = f α), то ; значит, точка N лежит на графике функции . Значит, для всякой точки M Î G на существует точка N, симметричная с M относительно биссектрисы первого и третьего координат- ных углов. Аналогично можно показать, что для всякой точки на G существу- ет точка M, симметричная с N относительно биссектрисы. Следовательно, G и Г симметричны относительно биссектрисы. ◄

Теорема 1. (О непрерывности обратной функции) Пусть функция f непре- рывна и возрастает (убывает) на некотором интервале (a; b), a < b. Обозначим: m = =inf E(f), M = sup E(f), где E(f) есть множество значений f на (a; b). Тогда:

1) областью определения для является интервал (m; M);

2) строго возрастает (строго убывает) на (m; M);

3) непрерывна на (m; M).

1) D () = E (f), а по теореме 3, п. 5.5, E(f) = (m;M).

2) Пусть f возрастает на (a; b); докажем, что и возрастает на (m; M). Выберем две точки и , m < < M, и обозначим: , x₂ = . Для чисел и выполняется либо , либо . Допустим, что . Функция f возрастает, значит, f (x ₁) . Но f(x ) , . Следовательно, допущение приводит к неравенству , которое противоречит сделанному вначале выбору . Отсюда вывод: для и возможно только ; а это означает: . Итак, для любых и , лежащих на (m; M) и удовлетворяющих условию , имеет место неравенство , т.е. обратная функция возрастает на (m; M).

В случае убывающей функции f доказательство аналогично.

3) Пусть f возрастает на (а; b). Зафиксируем некоторое у₀ (m;M)и докажем, что непрерывна в этой точке. Обозначим: . Ясно, что ; значит, можно подобрать достаточно малое ε > 0 так, чтобы интервал содержался в (a; b). Обозначим: , . Так как f возрастает на (a; b), то из х₀ –ε следует . Функция f взаимно однозна-чно отображает (a; b) на E(f) = (m; M), при этом интервал она ото- бражает на . Обратная функция отображает на (рис. 16.); значит, для всякого у (у₁,у₂) точка

Рис.16

лежит на (х ₀-ε; x ₀+ε), а тогда . Таким образом,. для всякого у, принад- лежащего справедливо . Подберем так, чтобы интервал содержался в .Тогда для всякого y, , справедливо .

Итак, установлено, что для любого достаточно малого e >0 cуществует d > 0 такое, что из следует ; значит, , т.е. непрерывна в точке . Но – произвольная точка на (m; M); следова- тельно, непрерывна в каждой точке этого интервала.

Случай убывающей функции рассматривается аналогично.

Замечание. Если в тексте теоремы 1 интервалы (a; b) и (m; M) заменить сегментами [ a; b ] и [ m; M ] соответственно, то получится теорема, справедливость которой можно доказать, дополнив приведенное выше доказательство рассмотрением конечных точек сегментов.

Пример 2. При a > 1 (a < 1) показательная функция f (x) = a строго воз- растает (строго убывает) и непрерывна на (-∞;+∞), множество ее значений есть (0;+∞). По теореме 1 обратная функция f (x) = log_a x строго возрастает (строго убы- вает) и непрерывна на интервале (0;+∞).

5.6 Элементарные функции

К основным элементарным функциям относят следующие функции.

1. Тождественно на промежутке равные константе:

f (x) º C на á a; b ñ, где C, a, b – вещественные числа, a ≤ b.

2. Показательную: f (x) = .

3. Логарифмическую: f (x) = log _ax, a > 0, a ≠ 1.

4. Степенную:. , где α R.

5. Тригонометрические: , , , .

6. Обратные тригонометрические: arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

Функции 1.–5. знакомы читателю по школьным учебникам; более подробное их описание с приведением доказательств имеется в учебниках математического анализа [1] и [2]. В частности, там доказано, что каждая из них непрерывна в области ее опре- деления. Ниже изложены определения и свойства обратных тригонометрических функций.