Непрерывные функции

5.1. Непрерывность функции в точке

Определение 1. Функцию f называют непрерывной в точке , х ₀ R, если f определена в некоторой окрестности этой точки и если .

Пример 1. Функции и непрерывны в каждой точке . Действительно, пусть произвольная точка на числовой оси.. При любом х

.

Воспользовавшись неравенством | sin α | ≤ | α | (п.4.2., (1)), получим:

.

Отсюда следует: если | x – x ₀| → 0, то и | cos x – cos x ₀| → 0; а это означает,

что при , и непрерывность функции cos x в точке доказана. Непрерывность в точке х ₀ можно доказать аналогично.

Пусть функция y = f (x) определена в окрестности точки , т.е. f оп- ределена на некотором интервале (a; b) таком, что . Пусть x – некоторая точка интервала (a; b). Разность назовем приращением аргумента x функции f и будем обозначать ее символом D x или буквой h: Δ x = h = x - x ₀.

Рис. 8.

Разность будем при этом на- зывать приращением функции в точке и обозначать символами D f или D y: . Так как , то будем также записывать:

(рис.8). Приращение D f функции f в точ- ке можно рассматривать как функ- цию аргумента h, определенную равенст- вом для тех h, для которых точка принадлежит интер- валу (a;b), т.е. для . Подчеркивая функциональную зависимость D f от h, мы будем иногда употреблять обозначение D f (h): Δ f (h) . Функция D f (h) определена в окрест- ности точки 0, а именно, на интервале (заметим: , ), причем .

Теорема 1. (О приращении непрерывной функции) Пусть функция f опре- делена в , . Для того чтобы f была непрерывной в точке , необходимо и достаточно, чтобы приращение D f (h) было бесконечно малым при h ® 0.

По теореме о разности между функцией и числом (п. 4.6., теорема 1), по- ложив А = f (x₀), можем записать:

Û (1) Введем обозначение h = x – x _0. Тогда , причем тогда и только тогда, когда h ® 0. Следовательно, (1) можно переписать так: Û , а это и есть утверждение теоремы.

Пример 2. Пусть , x ³ 0. Покажем, что f непрерывна в каждой точке .

Зафиксируем . Имеем: . Отсюда . Значит, , и поэтому функция непрерывна в точке .

Теорема 2. (О стабилизации знака непрерывной функции) Пусть функция f непрерывна в точке . Если , то существует d > 0 такое, что f (x) от- лично от нуля для всякого , причем в знак f (x) совпадает со знаком .

Пусть для определенности . Имеем: и . Из теоремы о стабилизации знака неравенства (п.4.5., теорема 2), положив в ее условии А = f (x₀) и p = 0, получим: существует d > 0 такое, что при всех справедливо f (x) > 0.

Теорема 3. (Об арифметических действиях с непрерывными функциями)

Пусть функции f и g непрерывны в точке , . Тогда их сумма f + g и произведение f × g непрерывны в . Если , то частное есть непрерывная в точке функция.

Эта теорема является непосредственным следствием теоремы об арифметиче- ских действиях с пределами (п.4.5., теорема 5).

Пример 3. Очевидно, что для функции f (x) = x при всяком справедливо равенство , т.е. эта функция непрерывна в любой точке . Функ- ция , n Î N, также непрерывна при всех , так как является произведе- нием непрерывных функций: . Алгебраический многочлен

, где , есть функция, непрерывная в каждой точке , ибо является суммой непрерывных функций , k = 0, 1, ¼, n.

Пусть а и b, a<b, - заданные числа, а функция f определена на (a,b).

Определение 2. Функцию f называют непрерывной слева в точке а (непре- рывной справа в точке b), если (. ).

Из теоремы о связи между пределом функции и ее односторонними пределами (п. 4.3., теорема 1) вытекает, что функции f непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в в этой точке как слева, так и справа.

Пример 4. Функция определена на [0; +¥) и непрерывна в каждой точке (пример 2); значит, она непрерывна в , и слева, и справа. Покажем, что, кроме того, f непрерывна справа в точке 0.

► Зададим e > 0 и рассмотрим неравенство . При x ³ 0 оно равно- сильно неравенству . Значит, для всякого e > 0 можно указать d > 0 (например, d = e ) такое, что из неравенства 0 < x < d вытекает .Следовательно, , а это и означает, что f непрерывна в точке 0 справа ◄